[Integral]Integral com ln

por **armando** » Ter Jul 23, 2013 19:38

Olá pessoal.

Como resolver o seguinte Integral:

O que faço com aquele

?

$\int ln \left(\sqrt{1+x^2}\right)dx$

Grato
armando

por **MateusL** » Ter Jul 23, 2013 22:01

Armando,

é o logarítmo natural.

Procurando em uma tábua de integrais:

$\displaystyle\int \ln x\cdot dx=x(\ln x -1)+C$

Mas terás que fazer uma substituição para resolver a integral que escrevestes.

Abraço!

por **armando** » Dom Jul 28, 2013 21:46

Oi MateusL

Pode me explicar como fica essa substituição ? É que estou aprendendo esta matéria, e esse negócio da substituição ainda é muito confuso pra mim.

Coloquei a questão no WolframAlpha, no dispositivo de resolução step by step, e me deu como solução:

$xlog\left(\sqrt{x^2+1}+x \right)-\sqrt{x^2+1}+C$

Não deveria ser $xln\left(\sqrt{x^2+1}+x \right)-\sqrt{x^2+1}+C$

Nota__ Contudo, no fim, após a solução diz :

log=

Logaritmo natural». Sendo as aspas um linke para outra página com explicação detalhada sobre o assunto.

Grato:
armando

por **MateusL** » Dom Jul 28, 2013 23:31

Olá Armando.

O $\log$ no Wolfram é a mesma coisa que o $\ln$ . Notações diferentes para a mesma coisa.
A integral que encontrastes é a integral da função $\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$ , mas no enunciado escrevestes $\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ .
Agora fiquei na dúvida de qual função você quer descobrir a integral: $\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$ ou $\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ ?

Ah, acho que me enganei quando disse que deverias resolver por substituição.
Acredito que terás que resolver por partes.

Abraço

por **armando** » Seg Jul 29, 2013 11:15

Oi MateusL

Desculpe, de facto, o enunciado correto é o da ultima versão.

$\int ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx$

Obrigado pelo reparo.

por **MateusL** » Seg Jul 29, 2013 14:48

Então vamos à resolução:

Pela integração por partes, sabemos que:

$\int udv=uv-\int vdu$

Façamos:

$u=\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$

v=x

Então $\int udv=\int\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)dx$

Teremos, fazendo $\sqrt{1+x^2}=t$ para facilitar a notação:

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot\left( \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x+1\right)=\dfrac{1}{t+x}\cdot \left(\dfrac{x}{t}+1\right)$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{x+2t}{t(x+t)}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\implies du=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot dx$

E também:

$\dfrac{dv}{dx}=1\implies dv=dx$

Assim:

$\int\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)dx=x\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)-\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot dx$

Notemos que:

$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2t}\cdot 2x=\dfrac{x}{t}\implies dx=\dfrac{t}{x}\cdot dt$

Então:

$\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot dx=\int \dfrac{x}{t}\cdot\dfrac{t}{x}\cdot dt=\int dt=t=\sqrt{x^2+1}+C$

Portanto:

$\int\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)dx=x\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)-\sqrt{1+x^2}+C$

Abraço!