[Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

por **jpreis** » Seg Jul 15, 2013 23:10

Fala Galera, blz? Peço a gentileza de me ajudar no seguinte problema:

"Num determinado circuito elétrico, a corrente 'I' é dada, em função da voltagem 'V', da resistência 'R' e da indutância 'L' por $I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}$ . No instante em que 'V' é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0,1 ohms por segundo, enquanto que 'L' é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0,05 henrys por segundo. Qual deve ser a variação de 'V', neste instante, para que a corrente permaneça constante?". Resposta = 3 volts por segundo.

COMO TENTEI RESOLVER: primeiro achei o valor de I através da substituição dos valores fornecidos pelo enunciado na equação $I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}$ , ficando desta forma: $I = \frac{210}{\sqrt[2]{49}} = 30$ . Após encontrar o valor de I, este foi igualado às derivadas de I em função das variáveis $\frac{\partial I}{\partial V}, \frac{\partial I}{\partial R} e \frac{\partial I}{\partial L}$ e multipliquei cada derivada parcial por sua respectiva taxa de variação $\frac{dV}{dt}, \frac{dR}{dt} e \frac{dL}{dt}$ ; lembrando que o valor que quero encontrar é $\frac{dV}{dt}$ ; assim ficou: $30 = \frac{\partial I}{\partial V}.\frac{dV}{dt} + \frac{\partial I}{\partial R}.\frac{dR}{dt} + \frac{\partial I}{\partial L}.\frac{dL}{dt}$ .
Resolvendo as derivadas, encontrei: $\frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}$ ; $\frac{\partial I}{\partial R} = \frac{V}{L.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{R}^{2}}$ ; e $\frac{\partial I}{\partial L} = \frac{V}{R.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{L}^{2}}$ .

Fazendo desta forma encontrei um valor na ordem de 200, ou seja, muito distante da resposta correta (3 volts/s). Refiz diversas vezes e não saiu deste resultado.

Desde já agradeço a ajuda. Forte abraço!

jpreis

por **Russman** » Ter Jul 16, 2013 00:36

O seu problema é inteiramente de Cálculo Diferencial. Voce tem uma função

que depende de 3 variáveis

,

e

as quais dependem do tempo

. Assim, a derivada total de

será

$I = I\left ( V\left ( t \right ),R\left ( t \right ),L\left ( t \right ) \right )$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}I = \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+ \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial t}$ .

Dada a função, temos que

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{RV}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}} \\ \frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{10VL}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}} \end{matrix}\right.$

Se queremos calcular a variação de V, isto é, $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ no instante indicado, para que a corrente se mantenha constante, isto é, $\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=0$ , então basta substituir na relação da derivada e teremos um resultado. Veja que no instante indicado temos

$\left\{\begin{matrix} V=210 \\ R=3 \\ L=2\\ \frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( 3^{2} + 10.2^{2}\right )^{\frac{1}{2}}} \\ \frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{3.210}{\left ( 7\right )^{3}} \\ \frac{\partial I}{\partial L} = -\frac{10.210.2}{\left ( 7\right )^{3}} \\ \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=-0,1 \\ \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} T} = 0,05 \end{matrix}\right$

Agora substitua os valores, isole a derivada temporal de V e terá a solução.

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