[Limites] Calculo de limite usando o teorema do confronto.

por **erickm93** » Qua Mai 22, 2013 10:48

Olá, recentemente tive uma prova de Cálculo I e me surgiu uma duvida sobre a seguinte questão
Calcular o limite seguinte, utilizando o teorema do confronto, e provar sua existência através dos limites laterais, segue o limite:
$\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}$

Utilizei o Wolfram Alpha para calcular este limite e ele me voltou a resposta como sendo 0, só que, minha professora corrigiu a prova e disse que este limite não existe. Minha dúvida é, qual das duas respostas está correta?

Obrigado desde já.

por **Man Utd** » Qua Mai 22, 2013 12:21

na minha opinião $\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}$ , existe sim, pois pelo teorema do confronto e lembrando que a função seno é limitada em -1 e 1.
$\\\\ -1\leq sen a \geq 1 \\\\ -1\leq sen(\frac{1}{x})\leq 1 \\\\ -1.\sqrt{x}\leq \sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})\leq \sqrt{x}*1 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}-\sqrt{x}=0 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0 \\\\ entao pelo teorema do confronto,\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})=0$

porém $\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})$ não existe pois a função oscila,veja que limites laterais diferem muito:
x=0,00000001----------f(x)=sen(1/x)=-0,98...
x=0.00000002----------f(x)=sen(1/x)=-0,64...
x=0.00000003----------f(x)=sen(1/x)=-0,54...
x=0.00000004----------f(x)=sen(1/x)=0,34

por **LuizAquino** » Qua Mai 22, 2013 20:27

erickm93 escreveu:Olá, recentemente tive uma prova de Cálculo I e me surgiu uma duvida sobre a seguinte questão
Calcular o limite seguinte, utilizando o teorema do confronto, e provar sua existência através dos limites laterais, segue o limite:
$\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}$

Utilizei o Wolfram Alpha para calcular este limite e ele me voltou a resposta como sendo 0, só que, minha professora corrigiu a prova e disse que este limite não existe. Minha dúvida é, qual das duas respostas está correta?

Obrigado desde já.

Man Utd escreveu:na minha opinião $\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}$ , existe sim, pois pelo teorema do confronto e lembrando que a função seno é limitada em -1 e 1.
$\\\\ -1\leq sen a \geq 1 \\\\ -1\leq sen(\frac{1}{x})\leq 1 \\\\ -1.\sqrt{x}\leq \sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})\leq \sqrt{x}*1 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}-\sqrt{x}=0 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0 \\\\ entao pelo teorema do confronto,\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})=0$

porém $\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})$ não existe pois a função oscila,veja que limites laterais diferem muito:
x=0,00000001----------f(x)=sen(1/x)=-0,98...
x=0.00000002----------f(x)=sen(1/x)=-0,64...
x=0.00000003----------f(x)=sen(1/x)=-0,54...
x=0.00000004----------f(x)=sen(1/x)=0,34

Existe um motivo muito simples para este limite não existir: o limite lateral esquerdo não está definido.

Notem que no termo $\sqrt{x}$ não podemos ter $x\to 0^-$ , já que no conjunto dos números reais não temos a raiz quadrada de um número x < 0

(e vale lembrar que estamos tratando em Cálculo I apenas de funções reais).

Quando o referido programa calculou este limite, ele na verdade apenas considerou o limite lateral direito. Ou seja, na verdade ele calculou:

$\lim_{x\to 0^+}{\sqrt{x}\sin \frac{1}{x}}$

Observação

Este exercício é interessante para ilustrar que não se pode acreditar cegamente em um programa de computador. A pessoa que está usando o programa deve fazer uma interpretação dos dados para avaliar se a resposta fornecida é coerente.

por **erickm93** » Qua Mai 22, 2013 23:49

Obtive uma resposta de um colega que também achei interessante, ele me disse que o Wolfram calcula limites no conjunto dos complexos, por isso quando o mandei calcular aquele limite ele me retornou a resposta 0.
Agora com a sua resposta de que em Calculo I trabalhamos somente no conjunto dos reais, ficou ainda mais claro em minha mente a resposta para a dúvida que havia me surgido.
Agradeço pela atenção, abraços e até a próxima.