Limite(Prove)

por **Man Utd** » Ter Abr 30, 2013 21:53

Seja ƒ uma função definida num intervalo aberto Ie p ? I.Suponha que $f(x)\leq f(p)$ para todo x ? I.Prove que $\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$ desde que o limite exista.

(Sugestão: estude os sinais de $\lim_{x\rightarrow p+}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$ e de $\lim_{x\rightarrow p-}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$ )

por **e8group** » Qua Mai 01, 2013 00:38

Note que $\forall x \in I , f(x) - f(p) \leq 0$ .

Daí ,

$\lim_{x\to p^- } \frac{ f(x) - f(p) }{x-p} \geq 0$

e

$\lim_{x\to p^+ } \frac{ f(x) - f(p) }{x-p} \leq 0$

Para concluir observe que o limite existe quando os limites laterais existam e são iguais .

por **Man Utd** » Qua Mai 01, 2013 11:43

agora entendi,então eu provo que o limite não existe já que os limites laterais diferem.

Muito Obrigado Santhiago e um bom feriado.

por **e8group** » Qua Mai 01, 2013 13:39

Para ficar mais claro ,tomemos $L_1 = \lim_{x\to p^+} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}$ e $L_2 = \lim_{x\to p^-} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}$ . Como $f(x) - f(p) \leq 0$ para todo

em

e

quando $x\to p^+ (x\to p^-)$ concluímos que $L_1 \leq 0$ e $L_2 \geq 0$ .Ou seja , $L_1 \in (-\infty,0]$ e $L_2 \in [0,+\infty)$ . Desde que o limite exista ,obrigatoriamente L_1 = L_2

.

Assim ,

$L_1 = L_2 \implies L_1 \in (-\infty,0] \wedge L_1\in [0,+\infty) ,L_2 \in (-\infty,0] \wedge L_2\in [0,+\infty) \iff L_1 \in (-\infty,0]\cap [0,+\infty) = \{0\} , L_2 \in (-\infty,0]\cap [0,+\infty) = \{0\}$ .

Ou seja ,

$L_1 = L_2 \implies L_1, L_2 \in \{0\}$ .

Daí ,

L_1 = L_2 = 0