Limites e continuidade

por **Marcos_Mecatronica** » Sáb Abr 27, 2013 19:38

Suponha que f: [0,1] -> R seja contínua, f(0)=1 e que f(x) é racional para todo x em [0,1]. Prove que f(x)=1, para todo x em [0,1].

por **e8group** » Sáb Abr 27, 2013 20:50

Pensei da seguinte forma .

Se

é racional $\forall x \in [0,1]$ então existem funções polinomiais g,h

tais que $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} , h(x) \neq 0$ .

Se x = 0 ,h(x) = g(x)

não há nada que demonstrar . Suponhamos por absurdo que $g(x)\neq h(x) \forall x\in (0,1]$ . Por continuidade ,

$g(a) - h(a) = \lim_{x\to a} (g(x) - h(x)) \neq 0 \forall a \in (0,1]$ .

Tomando-se $a \to 0^+$ , temos que

$\lim_{x\to a} (g(x) - h(x)) \neq 0 \iff \lim_{x\to a} g(x) = g(a) \neq \lim_{x\to a} h(x)= h(a)$ que é uma contradição ,pois h(0) = g(0)

.

por **e8group** » Dom Abr 28, 2013 21:32

Recebi uma mensagem do colaborador Marcelo Fantini comentando sobre este tópico com sugestões .

Percebi que cometi um equívoco. O que temos é $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todo $x \in [0,1]$ .Neste contexto ,de fato para que

seja contínua e racional em [0,1]

,

obrigatoriamente tem que ser constante ,pois [0,1]

é um conjunto conexo e a imagem de conexo é conexo ,como em $\mathbb{Q}$ os conjuntos conexos são os singulares segue que a função tem que ser constante .Caso contrário , se