Questão de Cálculo Vetorial

por **Piva** » Qua Mar 20, 2013 10:36

Boa tarde,

Estou estudando cálculo vetorial atualmente, e me deparei com a seguinte questão que não consigo resolver de forma alguma. Será que alguém poderia me dar uma luz de como eu posso resolver, ou uma fonte de estudo que explique tal resolução? Meu professor não explicou Teorema de Stokes nem do Divergente ainda, dessa forma, não posso utiliza-los...

1)Resolva:
a) Seja o escoamento de um fluido compressível com campo de velocidades v = x i .
Mostre que as partículas individuais têm vetor de posição r ( t ) = c1 e^t i + c2 j + c3 k, com c1 , c2 , e c3 constantes. Mostre também que as partículas, que no instante t = 0 estão no cubo delimitado pelos
planos x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 1 ,ocupam no instante t = 1 o volume e.

b) Calcule a integral de superfície
?? F . dS para o campo vetorial F (x, y, z ) = xze y i - xze y j + z k sendo a superfície S orientada e definida como parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orientação para baixo.

c) Um fluido de densidade 1500 flui com velocidade v = ? y i + x j + 2z k . Determine a taxa de vazão do fluido saindo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 .

Desde já, agradeço a colaboração..

Patrick

por **young_jedi** » Qua Mar 20, 2013 15:06

nos temos que

r(t)=x(t).i+y(t).j+z(t).k

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}(t)}{dt}$

$\overrightarrow{v}=\frac{dx(t)}{dt}.i+\frac{dy(t)}{dt}.j+\frac{dz(t)}{dt}.k$

$x(t).i+0.j+0.k=\frac{dx(t)}{dt}.i+\frac{dy(t)}{dt}.j+\frac{dz(t)}{dt}.k$

$\frac{dx}{dt}=x$

$\frac{dy}{dt}=0$

$\frac{dz}{dt}=0$

então

$\frac{dx}{dt}=x$

$\frac{dx}{x}=dt$

$\int\frac{1}{x}dx=\int dt$

ln(x)=t+c

$x(t)=e^{t+c}$

x(t)=c_1.e^t

resolvendo para y e z

y=c_2

b) neste caso primeiro temos que calcular o vetor normal a superficie e aplica-lo na integral

este vetor é (1,1,1)
e tambem temos que z=1-y-x

e então substitituir na integral

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\left(x(1-y-x).e^y.i-x(1-y-x).e^{y}j+(1-x-y).k\right).(i+j+k)dy.dx$

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\left(x(1-y-x).e^y-x(1-y-x).e^{y}+(1-x-y)\right)dy.dx$

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)dy.dx$

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