Integral

por **barbara-rabello** » Qua Fev 27, 2013 16:24

Não estou conseguindo resolver essa integral. É por substituição simples?

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} 2\sqrt[]{v^{2}+8} - 2v dv$

Obrigada!

por **Jhonata** » Qua Fev 27, 2013 17:10

barbara-rabello escreveu:Não estou conseguindo resolver essa integral. É por substituição simples?

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} 2\sqrt[]{v^{2}+8} - 2v dv$

Obrigada!

Vamos lá:

Inicialmente, pelas propriedades da integral, podemos reescrevê-la:

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} 2\sqrt[]{v^{2}+8} - 2v dv = \frac{1}{2} (\int_{0}^{1} \sqrt[]{v^{2}+8} dv - \int_{0}^{1}v dv)$

A segunda integral é facilmente obtida de modo que:

$\int_{0}^{1}v dv = \frac{v^2}{2}|0\sim1 = \frac{1}{2}$

A primeira integral é feita por substituição trigonométrica. Tomamos: $v = 2\sqrt[]{2}tgu$ e $dv = 2\sqrt[]{2}sec^2udu$ .

Então quando $\sqrt[]{x^2+8}= \sqrt[]{8tg^2u+8}$ . Aplicando a identidade trigonométrica tg²u = sec²u - 1 substituimos, então:

$\sqrt[]{8tg^2u+8} = \sqrt[]{8(sec^2x-1)+8} = 2\sqrt[]{2}secu.$

Fazendo as substituições, vamos obter a integral:

$\int_{0}^{1} \sqrt[]{v^{2}+8} dv = \int_{0}^{1}2\sqrt[]{2}sec^2u2\sqrt[]{2}secu du = 8\int_{0}^{1}sec^3u du$

Tente resolver a partir dai, e lembre-se de 'juntar' o resultado já obtido na primeira integral e retornar a variável inicial 'v' na segunda.

Boa sorte, abraços!

por **barbara-rabello** » Qua Fev 27, 2013 18:24

Olá!

Eu não poderia resolver a integral por substituição simples?
Por exemplo: w = v² +8
dw = 2v.

Eu tinha tentado assim, só fiquei na dúvida quanto ao sinal, pois o 2v é negativo.

por **Jhonata** » Qui Fev 28, 2013 00:53

por **Jhonata** » Qui Fev 28, 2013 00:55

Jhonata escreveu:
barbara-rabello escreveu:Olá!

Eu não poderia resolver a integral por substituição simples?
Por exemplo: w = v² +8
dw = 2v.

Eu tinha tentado assim, só fiquei na dúvida quanto ao sinal, pois o 2v é negativo.

Olá bárbara.
O exercício até induz a fazer isso mesmo, mas não é tão simples quanto parece. hehe.
Mas se você olhar atentamente, o "-2" é uma parcela, não um fator de multiplicação, então, particularmente, não dá pra fazer por substituição simples e acho que a forma que mostrei é a correta.
Conseguiu resolver o restante do que deixei? Espero que sim. Se você tiver o gabarito da questão, poste aí pra ver se conseguimos chegar à uma conclusão. Ou já posso postar minha resposta direto de onde parei.

Boa sorte, abraços!

por **barbara-rabello** » Qui Fev 28, 2013 14:07

Obrigada pelo esclarecimento!

Nem tinha pensado nisso. Já fui tentando logo pelo jeito mais fácil.
A resposta é $\frac{1}{2} ln2$ .
Mas não cheguei nesse resultado. Devo estar fazendo alguma coisa errada.

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