[derivadas]Ajuda básica

por **MarlonMO250** » Dom Fev 24, 2013 16:37

Olá, estou começando a estudar derivadas e estou com uma duvida meio basica em uma questão, no caso 3/x², no formato: f'(x)= lim.......f(x+?x) - f(x), como eu resolvo essa derivada nesse modelo?
...........................................................................................................................................................?x ? 0.........?x

por **11121EEL061** » Dom Fev 24, 2013 18:41

Olá, aqui está minha resolução, vou trocar ?x ? 0 por h ? 0, para facilitar.

f(x) = 3/x²

f '(x) = lim(h ? 0) f(x+h) - f(x) / h
= lim(h ? 0) (3/(x+h)² + 3/x²)/h
= lim(h ? 0) (3x²-3(x+h)²)/(hx²(x+h)²)
= lim(h ? 0) (3x² -3x² -6xh -3h²)/(hx²(x²+2xh+h²)
= lim(h ? 0) h(-6x-3h)/hx²(x²+2xh+h²)
= lim(h ? 0) (-6x-3h)/(x^4 +2x³h+2x²h²)
= lim(h ? 0) (-6/x(x³+2x²h+2xh²)) + (-3h/(x^4 +2x³h+2x²h²)) Como h tende a zero, é só substituir zero no lugar de h.
= -6/x³

Espero ter ajudado. Fica com Deus.

por **MarlonMO250** » Dom Fev 24, 2013 19:24

Cara, primeiro agradeço imensamente pela resposta, mas voltando ao problema, porque você pasou de $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\frac{3}{(x+h)^2} - \frac{3}{x^2}}{h}$ pra $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\frac{3}{(x+h)^2} + \frac{3}{x^2}}{h}$ , porque a troca de sinal?

e depois, como foi disso: $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\frac{3}{(x+h)^2} + \frac{3}{x^2}}{h}$ pra $\lim_{h\rightarrow0} \frac{3x^2-3(x+h)^2}{hx^2(x+h)^2}$ ?

por **Russman** » Dom Fev 24, 2013 20:21

As passagens as quais você tem dúvida são simples desenvolvimento algébrico.

Veja que

$[tex]\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+cb}{db}$ [/tex],

de forma que

$\frac{\frac{3}{(x+h)^2} + \frac{3}{x^2}}{h} = \frac{\frac{3x^2+3(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h} = \frac{3x^2+3(x+h)^2}{hx^2(x+h)^2}$

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