integral sqrt(1+x^2)dx

por **solozinho** » Qua Set 30, 2009 16:50

Boa tarde galera...
tenho prova de cálculo amanha e nos estudos nao consegui resolver nenhuma das integrais abaixo, se puderem me ajudar em alguma agradeco.
ps. Parece que todas se resolvem atravez de substituição trigonometrica, assunto que eu num to sabendo muito *-)

integral sqrt(1+x^2)dx

integral {[sqrt (1+x^2)]/x^2}dx

integral {[sqrt (1+x^2)]/x^4}dx

obs.: sqrt=raiz quadrada

por **Molina** » Qua Set 30, 2009 18:37

Boa tarde.

As integrais que você quer achar são do tipo $\sqrt{a^2+u^2$ , com a>0

O livro de cálculo que você usa deve ter uma tabela dessas integrais, basta olhar e fazer as substituições.

Vou fazer o primeiro exemplo, tente fazer o mesmo para as seguintes:

$\int \sqrt{1+x^2}dx=$

Note que da forma que definimos estas integrais, temso que a=1

e

Pela fórmula, temos:

$=\frac{x}{2}\sqrt{1^2+x^2}+\frac{1^2}{2}ln(x+\sqrt{1^2+x^2})+C=$

$=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$

Os dois casos seguintes você considera as integrais como sendo $\int \frac{\sqrt{a^2+u^2}}{u^2}du$

Então olhe a tabela de integrais e resolva essas duas.
Se encontrar dificuldades coloque-as aqui!

Boa prova amanhã :y:

Quando possível visite uma enquete sobre matemática e vote: viewtopic.php?f=98&t=1159

por **solozinho** » Qua Set 30, 2009 22:30

Muito obrigado Molina, a resposta é essa mesmo.
a tabela que eu uso, e que o professor deixará para consulta na prova é essa deste link: http://www.if.ufrgs.br/tex/fisica-4/tab-integrais.pdf que nao tem essa integral.
o professor indica resolvermos por substituiçao trigonometrica...
eu comecei fazendo assim...

$\int \sqrt{1+x^2}dx$

fazendo x=tg(t), dx=sec^2(t)..

$\int \sqrt{1+\tan^2(t)}\sec^2(t)dt$
$\int \sqrt{\sec^2(t)}\sec^2(t)dt$
$\int \sec(t)\sec^2(t)dt$

por partes, fazendo u=sec(t) => du=sec(t)tg(t)dt e dv=sec^2(t) => v=tg(t)

$\sec(t)\tan(t) - \int\tan^2(t)\sec(t)dt$
$\sec(t)\tan(t) - \int\sec(t) (\sec^2(t)-1)dt$
$\sec(t)\tan(t) - \int\sec^3(t)-\sec(t)dt$
$\sec(t)\tan(t) - \int\sec^3(t)dt + \int\sec(t)dt$

ai eu voltei à integral que estava fazendo por partes, logo...
$\int\sec^3(t)dt=\sec(t)\tan(t) - \int\sec^3(t)dt + \int\sec(t)dt$
$2\int\sec^3(t)dt = \sec(t)\tan(t) + \int\sec(t)dt$
$\int\sec^3(t)dt =1/2 [\sec(t)\tan(t)] + 1/2[\int\sec(t)dt]$

e dai eu nao terminei de fazer

mas por ai ia dar certo tbm?? faltou preseverança ou ai ta tudo errado??
se tiver certo ai ja é um bom começo porque é assim que vai ser na prova :-D