Integral função irracional

por **manuel_pato1** » Dom Jan 20, 2013 14:16

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} +1)}$ dx

Bom, meu professor nos explicou de um modo que eu teria que fazer o mmc com os denominadores da função , que neste caso seria 3 , logo x= z³

então $\int \frac{1}{z(z+1)} 3z^2 dz$

aí divido

3z² / z² + z = 3 , com um resto= -3z

$\int 3 + \frac{-3z}{z^2 + z}dz$

daí na segunda integral dessa última, faço por frações parciais , né?

o estranho é que se faço por frações parciais, fiz (A/z) + (B/z+1)
onde achei A= 1 e B=-1, mas a integral fica -3 $\int \frac{1}{z} + \frac{-1}{z+1}$

que resolvendo, resulta em -3 ln $\left|\sqrt[3]{x} \right|$ + c E 3ln $\left|\sqrt[3]{x} +1 \right|$ + c

Só que somando com a integral do começo ( 3dz ) que me resultava em 3z+c = 3 $\sqrt[3]{x}$ + c ,

o resultado final seria :

3 $\sqrt[3]{x}$ - 3 ln $\left|\sqrt[3]{x} \right|$ + 3ln $\left|\sqrt[3]{x} +1 \right|$ + c

Ou não??

o Resultado do meu professor e do wolfram foi: 3 $\sqrt[3]{x}$ + 3ln $\left|\sqrt[3]{x} +1 \right|$ + c

por **e8group** » Dom Jan 20, 2013 20:03

Boa noite .

Note que ,

fazendo z^3 = x

obtemos :

$3\int \frac{z^2}{z(z+1)} dz$ que se resume em (após cancelarmos o fator 3 no numerador e denominador) $3\int \frac{z}{(z+1)} dz$ .

Somando-se 1 + (-1) = 0

no numerador .Segue que ,

$3 \left(\int \frac{z+ (1 +(-1))}{(z+1)} dz\right) = 3 \left(\int \frac{(z+1) +(-1)}{(z+1)} dz\right) = 3 \left(\int dz - \int \frac{dz}{z+1}\right)$ que resulta 3z - 3 ln(z+1) + c

.

Ou seja ,

$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)} = 3\sqrt[3]{x} - 3ln(\sqrt[3]{x} + 1) + c$

Por favor verifique-se o gabarito além de sua resolução .

por **manuel_pato1** » Dom Jan 20, 2013 21:08

Muito obrigado cara. Não tinha prestado atenção em cortar o quadrado do z que esta no numerador com o que está no numerador, e nem havia pensado sobre essa regra de somar e subtrair 1.
Pelo gabarito do meu professor, realmente está incorreto. Mas joguei no wolf e deu seu resultado mesmo.

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