[Integral] Integral por substitução

por **RafaelPereira** » Qui Dez 27, 2012 22:52

Olá pessoal, como pode-se resolver a integral $\int_{}^{} \frac{{\left({a}^{x}-{b}^{x} \right)}^{2}}{{a}^{x}{b}^{x}} dx$ pelo método da substituição?

por **e8group** » Sex Dez 28, 2012 00:29

Note que ,

$\int \frac{(a^x - b^x)^2}{a^xb^x}dx = \int \frac{a^{2x} - 2a^xb^x + b^{2x}}{a^xb^x} dx = \int \left( \frac{a^x}{b^x} - 2 + \frac{b^x}{a^x}\right )dx = \int k^x dx - 2\int dx + \int (k^{-1} )^x dx$

Onde :

$k = \frac{a}{b}$

Consegue concluir ?

Dica.: Rescreva k^x

como $e^{x \cdot ln(k)}$ .(Assumindo que k > 0

)

Qualquer coisa comente .

por **RafaelPereira** » Sex Dez 28, 2012 02:42

Partindo de onde você parou eu calculei as integrais individuais, assumindo que $\int_{}^{} {k}^{x} dx = \frac{{k}^{x}}{ln(k)}$ ,(Para k>0

),
que
$-2\int_{}^{}dx = -2x$
e que $\int_{}^{}{k}^{-x} dx = \frac{{k}^{-x}}{ln(k)}$
(não se está muito certa essa última.)

Daí, substituindo o valor de $k=\frac{a}{b}$
eu cheguei ao seguinte resultado $\frac{{(\frac{a}{b})}^{x}+{(\frac{b}{a})}^{x}}{ln(a)-ln(b)}-2x$

Porém, a resposta que está no livro é $-\frac{{(\frac{a}{b})}^{x}-{(\frac{b}{a})}^{x}}{ln(a)-ln(b)}-2x$

O que mostra que está muito parecida a resposta, mas não está igual, então a questão é: de onde vem os

do numerador da fração ?

por **e8group** » Sex Dez 28, 2012 12:20

Boa tarde , sua integral estar errada . Por favor, verifique que $\int k^{-x}dx \neq \frac{k^{x}}{ln(k)} +c$ .

Pois , $\left( \frac{k^{-x}}{ln(k)} +c\right )' = \left( \frac{e^{-x \cdot ln(k)}}{ln(k)} +c\right )' = \frac{1}{ln(k)} \cdot e^{-x\cdot ln(k)} \cdot (-x\cdot ln(k))' = \frac{k^{-x}}{ln(k)}\cdot (-ln(k)) = - k^{-x}$ .

Diante disto é fácil ver que ,

$\int k^{-x}dx = - \frac{k^{-x}}{ln(k)} +c$ (Verifique ! )

A resposta condiz com o gabarito agora ?

Editado ;

por **RafaelPereira** » Sex Dez 28, 2012 15:59

Boa tarde, não entendi completamente esse processo $\left( \frac{e^{-x \cdot ln(k)}}{ln(k)} +c\right )' = \frac{1}{ln(k)} \cdot e^{-x\cdot ln(k)} \cdot (-x\cdot ln(k))'$

Sei que você usou a regra da cadeia, mas tenho as seguintes dúvidas:

Você considerou {ln(k)}

como sendo um constante e por isso não o derivou e também é por isso que $(-x\cdot ln(k))'$ = (-ln(k))

?

Considerando a integral de $\int k^{-x}dx = - \frac{k^{-x}}{ln(k)} +c$ e substituindo o valor de

por $\frac{a}{b}$ eu cheguei ao seguinte processo:

$\frac{{k}^{x}-{k}^{-x}}{ln(k)}-2x = \frac{{\left(\frac{a}{b} \right)}^{x}-{\left(\frac{a}{b} \right)}^{-x}}{ln\left(\frac{a}{b} \right)}-2x = \frac{{\left(\frac{a}{b} \right)}^{x}-{\left(\frac{b}{a} \right)}^{x}}{ln\left(a \right)-ln\left(b \right)}-2x$

mas ainda assim não confere com o gabarito, pois lá mostra que tem um

antes da fração.

Ficando a resposta assim:

$-\frac{{\left(\frac{a}{b} \right)}^{x}-{\left(\frac{b}{a} \right)}^{x}}{ln\left(a \right)-ln\left(b \right)}-2x$

Então, de onde veio esse

que está antes da fração?

por **e8group** » Sex Dez 28, 2012 17:43

Sim , o

é uma constante . Lembre-se k= a/b

e

são reais fixos(b $\neq 0$ ,que pela nossa hipótese k> 0

) .

Quanto ao exercício ,refiz o mesmo ,mas não conseguir chegar no gabarito .

Veja o resultado da sua integral, http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %5Ex%29+dx .

por **RafaelPereira** » Sex Dez 28, 2012 18:36

Ok, vi o resultado.

Muito Obrigado, suas instruções foram de grande ajuda.

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