Derivada de uma função trigonométrica [Resposta impossível]

por **Matheus Lacombe O** » Dom Dez 02, 2012 13:57

- Olá pessoal. Estou entrando agora no conteúdo de derivadas e meu professor de cálculo lançou uma lista de exercícios que servirá de base para a próxima prova. Porém, não consegui compreender um dos exercícios. Não sei direito se está me faltando o conhecimento de alguma identidade trigonométrica, ou se fui eu que errei em alguma parte do cálculo. Além da dificuldade no exercício, o gabarito que o professor escreveu na lista é diferente do gabarito que consta no livro de cálculo do Anton.

Questão: Encontre a derivada da função abaixo:

$f(x)=\frac{Cotg(x)}{(1+Cossec(x))}$

Resolução:

$f(x)=\frac{(1+Cossec(x)).(Cotg(x))-(Cotg(x)).(1+Cossc(x))}{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{(1+Cossec(x)).({-Cossec}^{2}(x))-(Cotg(x)).(-Cossec(x).Cotg(x))}{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{{-Cossec}^{2}(x){-Cossec}^{3}(x)+Cossec(x).{Cotg}^{2}(x)}{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{-{( \frac{1}{Sen(x)}) }^{2}-{( \frac{1}{Sen(x)} })^{3}+(\frac{1}{Sen(x)}). (\frac{{Cos}^{2}(x)}{{Sen}^{2}(x)}) }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{-{( \frac{1}{Sen(x)}) }^{2}-{( \frac{1}{Sen(x)} })^{3}+(\frac{{Cos}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)}) }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{-\frac{1}{{Sen}^{2}(x)}- \frac{1}{{Sen}^{3}(x)}+\frac{{Cos}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)} }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{-\frac{Sen(x)}{{Sen}^{3}(x)}- \frac{1}{{Sen}^{3}(x)}+\frac{{Cos}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)} }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

- Aplico que: se ${Sen}^{2}(x)+{Cos}^{2}(x)=1$ então ${Cos}^{2}(x)=1-{Sen}^{2}(x)$ ;

$f(x)=\frac{-\frac{Sen(x)}{{Sen}^{3}(x)}- \frac{1}{{Sen}^{3}(x)}+\frac{1-{Sen}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)} }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{ \frac{-Sen(x)-1+1-{Sen}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)} }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

$f(x)=\frac{ \frac{-Sen(x)-{Sen}^{2}(x)}{{Sen}^{3}(x)} }{{(1+Cossc(x))}^{2}}$

Dúvida:

- Parei por aqui. Não sei "da onde" que isso vai chegar na resposta que consta no gabarito do livro do Anton.

- E outra: Depois de se aplicar a regra de derivada de um quociente, o resultado não poderia ser a resposta? Porque, a mim me parece que estas derivadas trigonométricas tem respostas um tanto quanto subjetivas, digo, dependendo do caminho - identidades trigonométricas aplicadas - que você toma chega-se a diferentes resoluções. Isso é normal?

Gabarito:

$f(x)=\frac{ -Cossec(x) }{1+Cossec(x)}$

por **DanielFerreira** » Dom Dez 02, 2012 14:15

Matheus,
fiz assim:

$\\ f(x) = \frac{cotg \, x}{1 + cossec \, x} \\\\\\ f(x) = \frac{\frac{cos \, x}{sen \, x}}{1 + \frac{1}{sen \, x}} \\\\\\ f(x) = \frac{cos \, x}{\cancel{sen \, x}} \div \frac{sen \, x + 1}{\cancel{sen \, x}} \\\\\\ f(x) = \frac{cos \, x}{sen \, x + 1} \\\\\\ f'(x) = \frac{- sen \, x \left ( sen \, x + 1 \right ) - cos \, x \cdot cos \, x}{\left ( sen \, x + 1 \right )^2}\\\\\\ f'(x) = \frac{- sen^2 \, x - sen \, x - cos^2 \, x}{\left ( sen \, x + 1 \right )^2} \\\\\\ f'(x) = \frac{- \left ( sen^2 \, x + cos^2 \, x \right ) - sen \, x}{\left ( sen \, x + 1 \right )\left ( sen \, x + 1 \right )} \\\\\\ f'(x) = \frac{- 1 - sen \, x}{\left ( sen \, x + 1 \right )\left ( sen \, x + 1 \right )} \\\\\\ f'(x) = \frac{- \cancel{\left ( sen \, x + 1 \right )}}{\cancel{\left ( sen \, x + 1 \right )}\left ( sen \, x + 1 \right )} \\\\\\ \boxed{\boxed{f'(x) = - \frac{1}{sen \, x + 1}}}$

por **Matheus Lacombe O** » Dom Dez 02, 2012 17:12

- Poisé. pra mim resolveu, mas ainda assim não bate com o gabarito do livro do Anton. :-/ Nem com o do meu professor. É isso que me indigna. Não dá pra saber quando se chegou na resposta.

por **DanielFerreira** » Dom Dez 02, 2012 17:51

Caro Matheus,
não conferi sua resposta à risca, mas acho que estava no caminho certo, embora tenha tomado o caminho mais trabalhoso.
Você fez a 'conversão' apenas no numerador, talvez, devesse ter convertido também o denominador. Inclusive, poderia ter simplificado o numerador pondo em evidência o $\boxed{- sen \, x}$ .
E, minha resposta está correta, é como se no gabarito do Anton fosse $\frac{8}{12}$ e nós tivéssemos encontrado $\frac{4}{6}$ , ou até mesmo $\frac{2}{3}$
Desenvolva o gabarito dado pelo livro...