LIMITES função com duas variáveis, teo confronto

por **inkz** » Dom Nov 25, 2012 15:32

lim(x,y)->(0,0) x² / (sqrt(x² + y²))

tentei resolver usando teorema do confronto, mas não deu muito certo..

fiz que 0 < ou = | x² / (sqrt(x² + y²)) | = x² / (sqrt(x² + y²)) < ou igual (não consegui essa parte do confronto)

me ajudem?

obrigado!!

por **e8group** » Dom Nov 25, 2012 16:56

Pensei em fazer assim :

Seja $h(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } , \sqrt{x^2 + y^2} \neq 0$ , de modo que $f(x,y) = x^2 \cdot h(x,y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2} }$ .

Assim,

$1 \geq h(x) > 0$ . Multiplicando toda desigualdade por x^2

temos que ,

$x^2\geq x^2 \cdot h(x,y) \geq 0 \cdot x^2 \implies x^2 \leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2} } \geq 0$ .

Visto que ,

$\lim_{x,y\to (0,0)} x^2 = \lim_{x,y\to( 0,0)} 0 = 0$

Temos que ,

$\lim_{x,y\to (0,0)} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +y^2}} = 0$ .

Editado , erro com código .

por **e8group** » Dom Nov 25, 2012 17:48

Ficou boa a resposta não , vou tentar arrumar um pouco .

Absurdo assumir que $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } < 1$ .Tome por exemplo x = 0.2

e

.

Vamos supor que existe um k > 0

, para

em uma vizinhança do zero , de forma que h(x,y)

seja estritamente maior que zero e menor que

.

Isto é ,

k > h(x,y) > 0

que implica $k > \frac{1}{\sqrt{x^2 +y^2} } > 0$ .Multiplicando toda inequação por x^2

temos ,

$x^2 \cdot k > \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +y^2} } > 0$ .

Uma vez que ,

$\lim_{x,y\to (0,0)} x^2 \cdot k = \lim_{x,y\to (0,0)} 0 = 0$

Implicará que $\lim_{x,y\to (0,0)} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +y^2} } = 0$ .

O que acha ?

por **inkz** » Dom Nov 25, 2012 18:59

olá, agradeço a resposta!!

de fato, não podemos assumir que a sua h(x,y) seja limitada entre 0 e 1.
mas agora me veio a idéia de usar aquele teorema que diz que

seja lim x->h f(x) = 0 e g(x) limitada, então

lim x->h [f(x) * g(x)] = 0

porém quando uma função é limitada?
digo.. podemos dizer que a sua h(x,y) (do primeiro post seu) é <= 0, certo?

isso caracteriza uma função limitada? já que sua imagem é [0, +oo[ ?

quanto a sua segunda resolução, gostei do método, mas sinceramente não entendi muito bem ):

por **e8group** » Dom Nov 25, 2012 19:59

Eu definir

apenas para

em uma vizinhança do zero , isto é quando $x \to 0 , k > \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } > 0$ .

Vamos usar a Idéias intuitiva do limite só para compreender o comportamento de h(x,y)

.

Façamos , $x \to 0^+$ . Vamos pegar valores testes , como por exemplo :

x = y = 0,0000001

.

$\frac{1}{\sqrt{ 0,000001 ^2 + 0,000001^2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{10^{-6} }= 0.000707107$ .

É fácil ver que , 0.000707107 > 0

. Pela nossa hipótese ,existe um k > 0.000707107

quando

.

Dá última inequação , multiplicando por x^2

.

$k \cdot x^2 > \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2} } > 0 \cdot x^2$ .

Vamos novamente parti da idéia intuitiva de limite :

Vamos tomar x = y = 0,000001

novamente . Vamos , ter :

$10^{-12} k > \frac{10^{-12} }{\sqrt{2} }\cdot 10^{- 6} > 0 \cdot (10^{-12} )$ .

Pela nossa hipótese , $k > \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} }$ . Façamos então ,

$k = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } + x^2$ , é obvio que $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } + x^2 > \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} }$ .

Agora faça o estudo com $x \to 0^-$ .

Acredito que esta solução seja valida sim .Isso por que $\lim_{x,y\to(0,0)} kx^2 = 0$ e $\lim_{x,y\to(0,0)} 0 = 0$ . Vamos ver que os demais usuarios do ajuda matmática acham .

OBS .: Na próxima vez utilize o editor de fórmulas do fórum .

por **inkz** » Dom Nov 25, 2012 22:12

agora ficou mais claro, e pude entender!!

parece razoável que seja realmente uma solução válida.

mas será que a que sugeri, de usar o teo de função limitada daria certo?

obrigado!!

por **e8group** » Seg Nov 26, 2012 11:44

inkz escreveu:agora ficou mais claro, e pude entender!!

parece razoável que seja realmente uma solução válida.

mas será que a que sugeri, de usar o teo de função limitada daria certo?

obrigado!!

inkz escreveu:
mas será que a que sugeri, de usar o teo de função limitada daria certo?

Não posso afirmar isto ,eu aconselho você conversar com seu professor sobre isto . Eu já deparei com exercícios como este , só que uma variável . Realmente para estes casos eu acredito que o Teorema do confronto seja melhor e mais aceito que o seu método proposto . Através deste teorema ,por exemplo ,podemos mostrar que $\lim_{x\to 0 } \frac{sin(x)}{x} = 1$ .

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