[CURVAS] CÁLC II - Trajetórias e Parametrização

[inkz]

pessoal, estou resolvendo provas antigas para me preparar para a p1 de cálculo 2, porém, não tenho as respostas. podem me ajudar, só conferindo se o raciocínio está correto?

2) UMA PARTICULA MOVE-SE NO SENTIDO HORÁRIO SOBRE UM CÍRCULO DE CENTRO EM (1,1) E RAIO 2, COM VELOCIDADE ESCALAR CONSTANTE IGUAL A 6. DETERMINE UMA FUNÇÃO CUJA TRAJETÓRIA DESCREVE O MOVIMENTO DA PARTÍCULA.

minha tentativa:
parametrização de um círculo com centro em (0,0) e raio 1:
w(t) = (cost, sent)

parametrização de um círculo com centro em (0,0) e raio 2:
w(t) = (2cost, 2sent)

parametrização de um círculo com centro em (1,1) e raio 2:
w(t) = (1+2cost, 1+2sent)

parametrização de um círculo com centro em (1,1) e raio 2 e que descreva um movimento horário:
w(t) = (1+2sent,1+2cost)

e para mim seria essa a resposta..

mas eu nem utilizei o dado que foi dado, de que a velocidade escalar é constante e igual a 6.
sei que a derivada da trajetória é a velocidade instantânea, e que a norma dessa derivada, || v || é a velocidade escalar. mas como eu deveria ter usado esse dado? tá tudo errado ou o que? me ajudem, por favor

será que seria:

w(t) = (1+2sen(6t),1+2cos(6t))??

como vocês resolveriam ele? :p

[MarceloFantini]

Assuma que o parâmetro da curva será , assim teremos .

Na sua parametrização ela começa em , ou seja, no topo da circunferência. Isto não faz tanta diferença mas é interessante perceber.

Derivando temos

.

Calculando o módulo e igualando a 6 segue

,

assim . Existe uma resposta negativa para , mas isto significaria reverter a orientação novamente, o que não queremos, portanto descartei-a.

Finalmente, a parametrização pedida é

.

[inkz]

Assuma que o parâmetro da curva será , assim teremos .

Caro MarceloFantini, não entendi o porque do parâmetro ser kt, e não t..
Digo, entendi tudo que foi feito ali, mas o que te fez pensar em usar kt?

Obrigado, novamente!!

[MarceloFantini]

A idéia por trás de usar ao invés de foi que ao derivar poderíamos ter uma constante a mais multiplicando o seno e o cosseno de tal forma que a velocidade se alterasse.

De forma mais genérica, o que determina a velocidade de circunferência é o coeficiente do parâmetro.

Tomando , temos que e assim .

Da maneira como você parametrizou está assumido implicitamente que a velocidade da circunferência, a menos do raio, é 1.

[inkz]

oh, entendi.. então eu deveria possuir o prévio conhecimento de que o que determina a velocidade da circunf é o coef. do parâmetro, certo? ou havia algum jeito de se chegar nisso, mesmo sem conhecer isso?

agradeço novamente, pelas respostas e pela ajuda!

[MarceloFantini]

Não estou conseguindo pensar em outra maneira de resolver sem usar isso. Pode existir, eu apenas não sei.

[inkz]

bom, se MarceloFantini não sabe outro jeito, posso afirmar que não existe outro modo de se resolver hahahah

tudo bem então, muito obrigado pela ajuda amigo!!!