Regra da Cadeia - Questão Medonha

por **iarapassos** » Qua Out 10, 2012 23:51

Determine a derivada indicada.

f'(0)

, sendo $x.f(8 - x)=f(x² - 9x + 8) + \sqrt[3]{2}$ e $f(0) = -\frac{8}{3}$ .

Me dêem uma luz, essa questão está na seção de regra da cadeia, mas não sei como aplic´-la para chegar ao resultado.

Desde já grata!

por **MarceloFantini** » Qui Out 11, 2012 01:20

Note que teremos f(0)

quando

. Perceba também que podemos fatorar x^2 -9x+8

em

.

Derivando dos dois lados, teremos que o lado esquerdo será f(8-x) + x (- f'(8-x) )

, e o lado direito $f'((x-8)(x-1)) \cdot (2x -9)$ .

Substituindo x=8

segue

$f(0) -8f'(0) = 7 f'(0) \leadsto 15 f'(0) = f(0) \leadsto f'(0) = \frac{f(0)}{15} = \frac{-8}{45}$ .

Para derivar f(8-x)

e

você tem que observar a seguinte composição de funções: h(x) = 8-x, g(x) = x^2 -9x +8

com

, assim $f(8-x) = (f \circ h)(x) = f(h(x))$ e $f(x^2 -9x+8) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Aplicando a regra da cadeia, $(f \circ h) ' (x) = f'(h(x)) \cdot h'(x)$ e $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .