[Limite trigonométrico] Razão entre tangente e seno.

por **Matheus Lacombe O** » Dom Out 28, 2012 17:13

Olá pessoal. Mais uma vez, venho recorrer a este fórum na busca de respostas para minhas dúvidas. Enfim, estou enfrentando problemas na resolução da seguinte questão:

$\lim_{x\rightarrow0}\left[\frac{tan(7x)}{sen(3x)} \right]=?$

-Tentei utilizar a propriedade a seguir, mas não consegui chegar a uma reposta:

Propriedade: $\lim_{x\rightarrow c}\left( \frac{a}{b} \right) = \frac{\lim_{x\rightarrow c}(a) }{\lim_{x\rightarrow c} (b)}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{sen(3x)} \right] = \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\left[tan(7x)\right] }{\lim_{x\rightarrow 0} \left[sen(3x)\right]}$

- Tentei também:

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{ \frac{sen(7x)}{cos(7x)}}{ \frac{sen(3x)}{1}}\right] = \lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{sen(7x)}{cos(7x)}. \frac{1}{sen(3x)}\right]$

- E, considerando a propriedade abaixo:

Propriedade: $\lim_{x\rightarrow c}(a.b) = \lim_{x\rightarrow c}(a).\lim_{x\rightarrow c}(b)$

$= \lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{sen(7x)}{cos(7x)} \right].\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{sen(3x)} \right]$

- Olha, o senhores me desculpem se a dúvida é idota, mas realmente travei, astá tudo muito confuso nesse conteúdo de limites, perece que o critério que aplicado a uma resolução não se aplica à outra e assim por diante. E ainda para piorar peguei um professor "matão" que já nos deu não sei quantos desfalques, passou a lista "em cima do laço" e não marcou reposição das aulas, sendo ainda que a prova continua na mesma data. Vixe, aqui ta foda. A primeira prova fui poliposition, mas do jeito que esse conteúdo aqui ficou nas coxas. Bem, enfim, se alguém puder dar uma exclarecida ou recomendar um bom site sobre o conteúdo, fico grato. Preciso en-ten-der este exercicío.

- Por favor, o que está faltando eu conhecer para resolver este exercicío?

OBS: A resposta do gabarito é (7/3) = 2.33333... Conferi pelo Microsoft Mathematics e a resposta de fato bate. Só não consigo chegar a ela.

por **MarceloFantini** » Dom Out 28, 2012 17:27

Primeiro, considere o limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ . Este limite é 1. Para provar isto, perceba que

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$ .

Analogamente, se tivermos $\lim_{x \to 0} \frac{ \tan (kx)}{x}$ , com $k \neq 0$ , este limite será

por considerações semelhantes.

Agora, considere o limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan (7x)}{\sin (3x)}$ . Multiplique e divida por

, então

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin (3x)} = 7 \cdot \frac{1}{3}$ .

por **Matheus Lacombe O** » Dom Out 28, 2012 19:34

MarceloFantini escreveu:Agora, considere o limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan (7x)}{\sin (3x)}$ . Multiplique e divida por , então

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin (3x)} = 7 \cdot \frac{1}{3}$ .

- Demorei um pouco, mas entendi. Primeiro de outra forma, só depois consegui entender sua resposta.

- Lembrei que:

Argumento - 1: $\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(ax)}{x} \right]=a.1$

Argumento - 2: $\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{sen(ax)}{x} \right]=a.1$

- Com isso, consegui enxergar que:

- Considerando que "Efetuar uma mesma operação no numerador(dividendo) e denominador(divisor) não altera a razão(resultado)" - basta que se divida o numerador "tan(7x)" por "x" e o denominador "sen(3x)", também por "x" para poder-se utilizar o Argumento 1 e 2. Desta forma, tem-se que:

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{sen(3x)} \right]= \lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{ \frac{tan(7x)}{x} }{ \frac{sen(3x)}{x} } \right]=\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{ 7 }{ 3 } \right]=\left[ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}(7) }{\lim_{x\rightarrow 0}(3)} \right]=\frac{7}{3}$

- No início não tinha entendido de onde você tirou o "x", achei que talvez fosse algo arbitrário, mas depois que eu fui me ligar que em uma multiplicação de frações, realizar uma mesma operação em diagonal, também não altera o resultado da expressão. Logo:

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{sen(3x)} \right]= \lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{ \frac{tan(7x)}{1} }{ \frac{sen(3x)}{1} } \right]=\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{1}.\frac{1}{sen(3x)} \right]=$

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{1.x}.\frac{1.x}{sen(3x)} \right]=\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{tan(7x)}{x}.\frac{x}{sen(3x)} \right]=\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{7}{1}.\frac{1}{3} \right]=\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{7}{3} \right]$

$=\left[ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}(7) }{\lim_{x\rightarrow 0}(3)} \right]=\frac{7}{3}$

- Por último: só pra me certificar. Pelo que você falou a sentença abaixo esta certa né?:

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{x}{sen(ax)} \right]= \frac{1}{a.x}$

- Obrigado por tudo, desde já. Abraços!

por **MarceloFantini** » Dom Out 28, 2012 21:53

Matheus Lacombe O escreveu:- Por último: só pra me certificar. Pelo que você falou a sentença abaixo esta certa né?:

$\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{x}{sen(ax)} \right]= \frac{1}{a.x}$

- Obrigado por tudo, desde já. Abraços!

Sim, é verdadeira. Basta perceber que

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(ax)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (ax)}{x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}} = \frac{1}{a}$ ,

ou seja, você apenas colocou um

onde não deveria ali.

Sobre as operações, lembre-se que qualquer número real não-nulo dividido por ele mesmo é 1, portanto

$1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} = \frac{x}{x} = \frac{x^2 -4x}{x^2 -4x}, \ldots$ ,

desde que seja diferente de zero. É um truque comum em limites.