Ajuda na interpretação de uma demonstração [integral]

por **Fabio Wanderley** » Seg Out 22, 2012 18:10

Boa tarde!

Segue o exemplo:

Seja f uma função ímpar e contínua em [-r,r], r > 0. Mostre que:

$\int_{-r}^{r}f(x)\ dx=0$

Solução:

f ímpar <-> f(-x) = -f(x) em [-r,r].

Façamos a mudança de variável u = -x

u = - x; du = - dx
x = - r; u = r
x = r; u = - r

$\int_{-r}^{r}f(x) \ dx = -\int_{-r}^{r}f(x) \ (-dx)=-\int_{r}^{-r}(-u) \ du=\int_{-r}^{r}f(-u) \ du$

Como f(- u) = - f(u), resulta

$\int_{-r}^{r}f(x) \ dx=-\int_{-r}^{r}f(u) \ du$ (<--- até aqui tudo bem)

mas, $\int_{-r}^{r}f(u) \ du=\int_{-r}^{r}f(x) \ dx$ (veja observação acima), logo: (<--- não entendi isso)

$\int_{-r}^{r}f(x) \ dx=-\int_{-r}^{r}f(x) \ dx$

(...)

Guidorizzi, p. 322, vol. 1, 5 ed.

Estou entendo até chegar a linha que marquei. Depois não consigo entender como ele concluiu a igualdade... e como assim "veja observação acima"? Para mim ficou confuso.

Alguém pode me ajudar?

por **young_jedi** » Seg Out 22, 2012 18:40

repare que as duas exprresões representam a mesma integral, apenas se utilizou outro simbolo para representar a variavel
poderia utilizar qualquer simbolo, note que;

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=\int_{-r}^{r}f(y)dy=\int_{-r}^{r}f(u)du=\int_{-r}^{r}f(s)ds=\int_{-r}^{r}f(\theta)d\theta$

é apenas o simbolo da variavel que é diferente mais representam a mesma integral
por isso ele pode fazer a igualdade

por **Fabio Wanderley** » Seg Out 22, 2012 19:59

young_jedi escreveu:repare que as duas exprresões representam a mesma integral, apenas se utilizou outro simbolo para representar a variavel
poderia utilizar qualquer simbolo, note que;

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=\int_{-r}^{r}f(y)dy=\int_{-r}^{r}f(u)du=\int_{-r}^{r}f(s)ds=\int_{-r}^{r}f(\theta)d\theta$

é apenas o simbolo da variavel que é diferente mais representam a mesma integral
por isso ele pode fazer a igualdade

young_jedi,

Mas se ele definiu que u = - x

e conclui que

$\int_{-r}^{r}f(x) \ dx=-\int_{-r}^{r}f(u) \ du$

como logo depois ele coloca que

$\int_{-r}^{r}f(u) \ dx=\int_{-r}^{r}f(x) \ du$

???

Não estou conseguindo enxergar como "sumiu" o sinal negativo de um lado da equação...

Agradeço desde já sua atenção!

por **young_jedi** » Seg Out 22, 2012 21:31

a questão é que as duas igualdades são verdadeiras

a primeira igualdade ele tirou do fato da função ser impar e continua como voce demonstrou

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=-\int_{-r}^{r}f(u)du$

a segunda ele tirou do fato de ser possivel fazer a substituição que eu desmonstrei

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=\int_{-r}^{r}f(u)du$

sendo assim as duas igualdades são verdadeiras com isso então nos temos que

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=-\int_{-r}^{r}f(x)dx$

mais isso só é possivel se

$\int_{-r}^{r}f(x)dx=0$

sendo assim demosntramos aquilo que se queria desde o inicio