[Integral Trigonométrica] Dúvidas.

por **rafiusk** » Dom Out 07, 2012 00:32

$\int\frac x\sqrt{x^2+x+1}$

Pessoal o que faço com essa integral? Como eu faço para simplificar o que está dentro da raiz? Tentei usar baskara e deu negativo dentro da raiz.

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 13:34

reescrevendo a integral

$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}dx$

$\int\frac{x}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx$

fazendo

$x+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{3}{4}}tg\theta$

$dx=\frac{\sqrt{3}}{2cos^2\theta}$

então a integral fica

$\int\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}tg\theta-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2cos\theta}}\frac{\sqrt{3}}{2cos^2\theta}d\theta$

$\int\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{sen\theta}{cos^2\theta}-\frac{1}{2}\frac{1}{cos\theta}d\theta$

a primeira intgral se resolve por u.du a segunda existe na tabela d integrais

por **MarceloFantini** » Dom Out 07, 2012 15:11

Se não me engano, para integrar secante você deve fazer $\int \sec \theta \cdot \frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta} \, d \theta$ , daí $u = \sec \theta + \tan \theta$ e $du = \sec^2 \theta + \sec \theta \tan \theta \, d \theta$ .

A integral torna-se

$\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C$ .