[limite] Raiz no numerador

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[limite] Raiz no numerador

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[limite] Raiz no numerador

Mensagempor emanes » Qua Ago 22, 2012 09:08

Alguém pode me ajudar com a questão abaixo:

\lim_{3}\frac{\sqrt[]{x}-9}{x-3}

Tentei resolver multiplicando o numerador e o denominador por \sqrt[]{x}+9 mas não consegui.

Obrigado
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Re: [limite] Raiz no numerador

Mensagempor e8group » Qua Ago 22, 2012 10:32

Perceba que não temos uma indeterminação " 0/0 " ,uma vez que o numerador é diferente que zero . Quanto a solução ,

\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x}-9}{x-3} = " \frac{\sqrt{3} -9}{0} " =\infty.
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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