Derivada com expoente fracionário.

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Derivada com expoente fracionário.

Mensagempor matematicouff » Seg Jun 18, 2012 02:39

Estou com problemas com relação à derivada de funções com expoente fracionário. Por exemplo; dada a função f(x)=(x-1){x}^{\frac{2}{3}} sua derivada primeira é {f}^{\prime}(x)=\frac{5x-2}{{3x}^{\frac{1}{3}}} e sua derivada segunda é {f}^{\prime\prime}(x)=\frac{2(5x+1)}{{9x}^{\frac{4}{3}}}. Como consigo chegar à esse resultado?
Obs: Meu problema não é derivar, porque sei fazer isso muito bem com os outros tipos de funções. O que quero saber é como mexer com esses expoentes fracionários para que fiquem da forma das respostas. Se der para explicar passo a passo a maneira correta de mexer com esses expoentes, ficaria muito grata!
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Re: Derivada com expoente fracionário.

Mensagempor e8group » Seg Jun 18, 2012 17:48

matematicouff ,Boa tarde .Recomendo que você estude propriedades de potenciação e radiciação ,o mesmo pode ser aprendido através destas videos aulas no respectivo link abaixo :

http://www.youtube.com/playlist?list=PL ... ature=plcp .

Mas lembre-se ! considerando a e b constantes não nulas , temos : \sqrt[b] {a} = a^{ \frac{1}{b} .
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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