[Limite] AJUDA Calculo de Limite

por **will94** » Ter Mai 22, 2012 20:32

Preciso resolver esse limite, mas não sei como proceder com uma função com duas raízes diferentes:

$\lim_{x\rightarrow 64} \left(\sqrt[2]{x}-8 \right)/\left(\sqrt[3]{x}-4 \right)$

O resultado eu sei que dá 3.
Muito obrigado àquele(a) que me ajudar.

por **LuizAquino** » Qua Mai 23, 2012 11:46

will94 escreveu:Preciso resolver esse limite, mas não sei como proceder com uma função com duas raízes diferentes:

$\lim_{x\rightarrow 64} \left(\sqrt[2]{x}-8 \right)/\left(\sqrt[3]{x}-4 \right)$

O resultado eu sei que dá 3.
Muito obrigado àquele(a) que me ajudar.

Note que:

$\lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x}-4} = \lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{64}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{64}}$

Agora multiplique o numerador e o denominador pela expressão:

$\left(\sqrt{x} + \sqrt{64}\right)\left(\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{64}^2\right)$

Temos então que:

$\lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{64}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{64}} = \lim_{x\to 64} \frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{64}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{64}\right)\left(\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{64}^2\right)}{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{64}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{64}\right)\left(\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{64}^2\right)}$

Agora use os seguintes produtos notáveis:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)