Limite e Continuidade

por **Thyago Quimica** » Seg Mai 21, 2012 14:11

1) Determine L para que a funçao dada seja continua
$f(x)= \begin{pmatrix} \sqrt{x}-\sqrt{5} / \sqrt{x + 5}-\sqrt{10}\,\,\,se\, x\neq 5 \\ L\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\, x = 5 \end{pmatrix} Em\,P=5$

2)A função é continua em 0
$f(x)= \begin{pmatrix} {x}^{2}+x/x + 1\,\:\;\! se\,x\neq-1 \\ 2\:se\;x=\!-1 \end{pmatrix}$

Não consegui chegar ao resultado correto, alguem pode ajudar ?

por **LuizAquino** » Ter Mai 22, 2012 19:22

Thyago Quimica escreveu:1) Determine L para que a funçao dada seja continua
$f(x)= \begin{pmatrix} \sqrt{x}-\sqrt{5} / \sqrt{x + 5}-\sqrt{10}\,\,\,se\, x\neq 5 \\ L\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\, x = 5 \end{pmatrix} Em\,P=5$

O que você escreveu é equivalente a:

$f(x) = \begin{cases}\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}}-\sqrt{10},\textrm{ se } x \neq 5 \\ \\ L,\textrm{ se }x = 5\end{cases}$

Mas ao que parece a função original seria:

$f(x) = \begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}},\textrm{ se } x \neq 5 \\ \\ L,\textrm{ se }x = 5\end{cases}$

Nesse caso, você deveria ter escrito algo como:

$f(x) = \begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{5}\right)/\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{10}\right),\textrm{ se } x \neq 5 \\ \\ L,\textrm{ se }x = 5\end{cases}$

Note a importância do uso adequado dos parênteses!

Falando agora sobre a resolução do exercício, para que a função seja contínua em x = 5, precisamos que ocorra:

$\lim_{x\to 5}f(x) = f(5)$

Pela definição da função, temos que f(5) = L.

Desejamos então que:

$\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}} = L$

Multiplicando o numerador e o denominador da fração dentro do limite pela expressão $\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)$ , temos que:

$\lim_{x\to 5}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)}{\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{10}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)} = L$

$\lim_{x\to 5}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)}{(x+5) - 10} = L$

$\lim_{x\to 5}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)}{x- 5} = L$

Agora multiplique o numerador e o denominador por $\sqrt{x}+\sqrt{5}$ . Temos que:

$\lim_{x\to 5}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{5}\right)}{(x- 5)\left(\sqrt{x}+\sqrt{5}\right)} = L$

$\lim_{x\to 5}\frac{(x-5)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}\right)}{(x - 5)\left(\sqrt{x}+\sqrt{5}\right)} = L$

Agora tente concluir o exercício.

Thyago Quimica escreveu:2)A função é continua em 0
$f(x)= \begin{pmatrix} {x}^{2}+x/x + 1\,\:\;\! se\,x\neq-1 \\ 2\:se\;x=\!-1 \end{pmatrix}$

Novamente: tome cuidado com o uso dos parênteses!

Ao que parece, a função original seria:

$f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2+x}{x+1},\textrm{ se } x \neq -1 \\ \\ 2,\textrm{ se }x = -1\end{cases}$

Para que ela seja contínua em x = 0, basta que ocorra:

$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$

Agora calcule separadamente o valor de $\lim_{x\to 0} f(x)$ e o valor de f(0). Se os resultados forem os mesmos, então a função é contínua em x = 0.

Tente concluir o exercício.

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