Função Inversa

por **matematicouff** » Ter Mai 15, 2012 14:31

Como mostro que essa função admite inversa?

- Mostre que a função f(x)=x.arctg(x)

admite inversa no intervalo $(-\infty,0]$ , e use o Teorema da Função Inversa para calcular $({f}^{-1}){}^{\prime}(f(-1))$ .

por **LuizAquino** » Sex Mai 18, 2012 19:54

matematicouff escreveu:Como mostro que essa função admite inversa?

- Mostre que a função admite inversa no intervalo $(-\infty,0]$ , e use o Teorema da Função Inversa para calcular $({f}^{-1}){}^{\prime}(f(-1))$ .

Sabemos que:

Se f é estritamente crescente ou estritamente decresencente em seu domínio, então f é inversível.

Lembrando que uma função é estritamente crescente em [a, b] quando $f^\prime(x) > 0$ para todo x em [a, b]. Por outro lado, uma função é estritamente decrescente em [a, b] quando $f^\prime(x) < 0$ para todo x em [a, b].

Agora tente usar essas informações.

por **matematicouff** » Dom Mai 20, 2012 04:47

Ok, derivei a função e deu o seguinte: ${f}^{\prime}(x)=\frac{x}{1+x^2}+arctg(x)$ .

Analizando o sinal dessa função, vemos que ela é negativa em todo o intervalo $(-\infty, 0] ==>$ ${f}^{\prime} (x)=\frac{(x)<0}{(1+x^2)>0}+(arctg(x))<0$ . Logo, f é decrescente nesse intervalo e então admite inversa.
Empaquei agora foi na derivada. Poderia me ajudar?

por **LuizAquino** » Dom Mai 20, 2012 21:39

matematicouff escreveu:Ok, derivei a função e deu o seguinte: ${f}^{\prime}(x)=\frac{x}{1+x^2}+arctg(x)$ .

Ok.

matematicouff escreveu:Analizando o sinal dessa função, vemos que ela é negativa em todo o intervalo $(-\infty, 0] ==>$ ${f}^{\prime} (x)=\frac{(x)<0}{(1+x^2)>0}+(arctg(x))<0$ . Logo, f é decrescente nesse intervalo e então admite inversa.

Cuidado! O intervalo que você escreveu inclui o zero. Note que para x = 0 a derivada é nula, e não negativa como você afirma.

Sendo assim, primeiro você pode afirmar que a função f é estritamente decrescente em $(-\infty,\, 0)$ .

Em seguida, usando a continuidade de f, você pode incluir o zero nesse intervalo e dizer que ela ainda é estritamente decrescente em $(-\infty,\, 0]$ .

matematicouff escreveu:Empaquei agora foi na derivada. Poderia me ajudar?

Pelo Teorema da Função Inversa, temos que:

$\left(f^{-1}\right)^\prime (f(-1)) = \frac{1}{f^\prime (-1)}$

Note que você já calculou $f^\prime (x)$ . Basta agora avaliá-la em x = -1.

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