[AJUDA] Integral convergente ou divergente

por **gabrielnandi** » Ter Mai 15, 2012 22:45

Amigos...gostaria da ajuda de voces

mostre se é divergente ou convergente!
$\int_{1}^{4}{\frac{dx}{{(x-2)}^\frac{2}{3}}}$

o calculo é de suma importancia.. pois nao estou conseguindo desenvolver.. caso complique para mostrar o calculo.. o que puder detalhar.. eu fico muito grato

abraço a todos

por **LuizAquino** » Sex Mai 18, 2012 17:43

gabrielnandi escreveu:Amigos...gostaria da ajuda de voces

mostre se é divergente ou convergente!

$\int_{1}^{4}{\frac{dx}{{(x-2)}^\frac{2}{3}}}$

o calculo é de suma importancia.. pois nao estou conseguindo desenvolver.. caso complique para mostrar o calculo.. o que puder detalhar.. eu fico muito grato

Para estudar a resolução da integral, eu gostaria de lhe dar uma dica. Você pode usar um programa para isso! Por exemplo, o SAGE, o Mathematica, o Maple, etc.

Alguns desses programas são disponibilizados também na forma de uma página na internet. É o caso do SAGE Notebook e do Mathematica. Por exemplo, siga os passos abaixo para conferir a resolução da integral indefinida associada a esse problema.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate 1/((x-2)^(2/3)) dx
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução.

Após seguir esses passos, você verá que:

$\int \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx = 3\sqrt[3]{x - 2} + c$

Agora para calcular a integral imprópria desejada, precisamos separar o intervalo [1, 4] em dois: [1, 2] e [2, 4]. Temos então que:

$\int_1^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx + \int_2^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx$

$= \lim_{r\to 2^-} \int_1^r \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx + \lim_{r\to 2^+}\int_r^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx$

$= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{x - 2}\right]_1^r + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{x - 2}\right]_r^4$

$= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{r - 2} - 3\sqrt[3]{1 - 2}\right] + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{4 - 2} - 3\sqrt[3]{r - 2}\right]$

$= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{r - 2} + 3\right] + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{r - 2}\right]$

$= 3 + 3\sqrt[3]{2}$

Portanto, temos que a integral imprópria indicada é convergente.

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