Derivadas, Limites

por **Grasi** » Qui Jun 25, 2009 00:12

Queremos construir uma lata cilíndrica, de volume 900 ml para servir de embalagem para óleo. Quais devem ser as medidas do raio da base e da altura para que a lata seja a mais econômica possível?

Já tentei encontrar a solução em 3 livros q tenho, mas os exemplos e teorias não estão me ajudando.

Peço a gentileza para ajudar-me, agradeço dede já. Muito obrigada!

por **Molina** » Qui Jun 25, 2009 11:05

Grasi escreveu:Queremos construir uma lata cilíndrica, de volume 900 ml para servir de embalagem para óleo. Quais devem ser as medidas do raio da base e da altura para que a lata seja a mais econômica possível?

Já tentei encontrar a solução em 3 livros q tenho, mas os exemplos e teorias não estão me ajudando.

Peço a gentileza para ajudar-me, agradeço dede já. Muito obrigada!

Bom dia, Grasi.

Precisamos minimizar a área superficial da lata, que é dada por: $A=2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

O volume é dado por $V= \pi r^2 *h$ . Ou seja, nesse cado $V= \pi r^2 *h=900 \Rightarrow h= \frac{900}{ \pi r^2}$

Ou seja, substituindo na equação da área, temos: $A=2 \pi r^2 + 2 \pi r * \frac{900}{ \pi r^2} \Rightarrow A=2 \pi r^2 + \frac{1800}{r}$

Devemos encontrar o mínimo desta função, logo, derivando A:

$A'=4 \pi r - \frac{1800}{r^2}=0 \Rightarrow r^3= \frac{1800}{4 \pi} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}$

Fazendo o teste da segunda derivada, temos que A''>0

, $\forall r>0$ . Com isso $r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}$ é um ponto de mínimo local. Mas o gráfico de A é côncavo para cima e o ponto de mínimo local deve ser também o mínimo absoluto.

Conclusão: O raio ideal da base da lata é $r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}$ e a altura ideal dessa lata é $h={\frac{900}{\pi * (\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}})^2}=2*\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}=2r$

Problema grande, porém, se analisar passo a passo verá que não terá grnades problemas.

Bom estudo, :y:

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