Limite trigonométrico

por **jmoura** » Dom Mar 25, 2012 21:25

Como calculo esse limite:
$\lim_{x->0} \frac{1-cos^3(x)}{x.sen(x).cos(x)}$

por **cjunior94** » Dom Mar 25, 2012 22:36

Primeiro faça a diferença de cubo: (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+b^3

$\lim_{x->0}\frac{(1-cos(x))(1+cos(x)+1)}{x*sen(x)*cos(x)}$

Agora basta multiplicar pelo conjugado:

$\lim_{x->0}\frac{(cos(x)+2)*(1-cos(x))*(1+cos(x))}{x*sen(x)*cos(x)*(1+cos(x))}$

$\lim_{x->0}\frac{(cos(x)+2)*(1-cos^2(x))}{x*sen(x)*cos(x)*(1+cos(x))}$

Sendo: 1-cos^2(x)=sen^2(x)

Temos:
$\lim_{x->0}\frac{(cos(x)+2)*(sen^2(x))}{x*sen(x)*cos(x)*(1+cos(x))}$

Organizando os temos, temos então:
$\lim_{x->0}\frac{sen(x)}{x}*\frac{sen(x)}{sen(x)}*\frac{cos(x)+2}{cos(x)*(1+cos(x)}$

Sabendo que o limite dos produtos é o produto dos limites, temos:

$1 * 1 * \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

por **LuizAquino** » Seg Mar 26, 2012 13:02

cjunior94 escreveu:Primeiro faça a diferença de cubo:

$\lim_{x->0}\frac{(1-cos(x))(1+cos(x)+1)}{x*sen(x)*cos(x)}$

Aqui há dois erros.

Primeiro, o produto notável é:

$(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3 - b^3$

E em segundo, aplicando esse produto notável temos que:

$\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos^3 x}{x \, \textrm{sen}\,x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{(1 - \cos x)\left(1 + \cos x + \cos^2 x\right)}{x \, \textrm{sen}\,x \cos x}$

Agora refaça a sua resolução. No final, a resposta vai continuar igual a 3/2.

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