Limites

por **Livia000** » Sáb Mar 24, 2012 00:56

Alguém poderia me ajudar nesta questão?

limx>1+(pela direita) = [ 1/?(x²-1) - 1/?((x^3) - 1) ]

Tentei resolvê-la utilizando a ideia de derivada :

limx>1+(pela direita) = [ 1/?(x²-1) - 1/?((x^3) - 1) ] = limx>1+[ ?(x²-1)/(x+1)/(x-1)] + limx>1+ [ ?(x^3-1)/(x² + x + 1)/(x - 1)] =

limites esses que são iguais às derivadas das funções ?(x²-1)/(x+1) em x= 1 e ?(x^3-1)/( x²+x+1) em x=1 ; respectivamente...

mas, é certo fazer desse jeito, uma vez que não sabemos se o limite de f(x) - f(1)/x-1 qdo x>1 (tende a 1) existe para as duas funções?
*a questão só utiliza o limite pela direita.... o.O

por **LuizAquino** » Sáb Mar 24, 2012 11:39

Livia000 escreveu:Alguém poderia me ajudar nesta questão?

limx>1+(pela direita) = [ 1/?(x²-1) - 1/?((x^3) - 1) ]

Primeiro, antes de postar um tópico leia as Regras deste fórum:

viewtopic.php?f=9&t=7543

Em especial, vide a regra 2.

Livia000 escreveu:limx>1+(pela direita) = [ 1/?(x²-1) - 1/?((x^3) - 1) ]

Tentei resolvê-la utilizando a ideia de derivada :

limx>1+(pela direita) = [ 1/?(x²-1) - 1/?((x^3) - 1) ] = limx>1+[ ?(x²-1)/(x+1)/(x-1)] + limx>1+ [ ?(x^3-1)/(x² + x + 1)/(x - 1)] =

limites esses que são iguais às derivadas das funções ?(x²-1)/(x+1) em x= 1 e ?(x^3-1)/( x²+x+1) em x=1 ; respectivamente...

mas, é certo fazer desse jeito, uma vez que não sabemos se o limite de f(x) - f(1)/x-1 qdo x>1 (tende a 1) existe para as duas funções?

Para qualquer que seja a função real f(x), se 1 é um ponto tal que $(a,\, 1) \cup (1,\, b)$ faz parte do domínio de f, então temos que sempre existem os seguintes limites laterais:

$\lim_{x\to 1^+} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

$\lim_{x\to 1^-} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

Os resultados desses limites podem ser um número real fixo ou ainda infinito.

Além disso, se os resultados desses dois limites laterais forem distintos, então não existirá o limite "geral":

$\lim_{x\to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

De qualquer modo, não é necessário utilizar o conceito de derivadas nesse exercício. Vejamos a resolução.

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to 1^+} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^3 - 1}}$

Note que:

$\lim_{x\to 1^+} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^3 - 1}} = \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{x^3 - 1} - \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^3 - 1}}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\left(\sqrt{x^3 - 1} - \sqrt{x^2 - 1}\right)\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}{\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^3 - 1}\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\left(x^3 - 1\right) - \left(x^2 - 1\right)}{\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^3 - 1}\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{x^2(x - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^3 - 1}\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{x^2(x - 1)}{(x - 1)\sqrt{(x + 1)\left(x^2 + x + 1\right)}\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{x^2}{\sqrt{(x + 1)\left(x^2 + x + 1\right)}\left(\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$

Note que o numerador se aproxima de 1 (pela direita). Já o denominador se aproxima de 0 (pela direita). Desse modo, esse limite é igual a $+\infty$ .

Em resumo, temos então que:

$\lim_{x\to 1^+} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^3 - 1}} = + \infty$

por **Livia000** » Sáb Mar 24, 2012 14:30

Muito obrigada!
Sou novata aqui no fórum, e não conhecia muito bem o latex =) Vou passar a usá-lo a partir de agora.

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