derivadas

por **panneitz** » Sáb Jun 06, 2009 19:43

Não acho meios de solucionar duas questões:

1 - Ache a derivada em relação a x para a função $6{x}^{5}+{x}^{4} + 2{x}^{3/2}+5$

2 - Ache a área da região limitada pela curva dada: y = x³ - x e y = 0 (eixo x).

Já tentei encontrar a solução na internet, em 5 livros e uma apostila, mas os exemplos e textos não são muito claros.

Peço a gentileza se alguém pode me ajudar, desde já agradeço.

por **Marcampucio** » Sáb Jun 06, 2009 21:26

1 - Ache a derivada em relação a x para a função $f(x)=6{x}^{5}+{x}^{4} + 2{x}^{3/2}+5$

a derivada de uma função polinomial é igual à soma algébrica das derivadas dos têrmos. $f(x)=ax^n\rightarrow f'(x)=nax^{n-1}$

$f'(x)=30x^4+4x^3+6x^{\frac{1}{2}}$

2 - Ache a área da região limitada pela curva dada: y = x^3 - x

e

(eixo x).

2.1- as raízes de y = x^3 - x

são $(-1,\,0,\,1)$ o que significa que ela intercepta o eixo x nesses tres pontos.

2.2- y'=3x^2-1

os pontos em que a derivada se anula são os máximos e mínimos da função e temos para $y'=0\rightarrow x=\frac{1}{3}\text{ ou }x=-\frac{1}{3}$ . Temos um máximo em $x=\frac{1}{3}$ e um mínimo em $x=-\frac{1}{3}$ . Com esses elementos podemos esboçar o gráfico
Imagem

a área procurada está destacada em amarelo e é igual a $2\int_{-1}^0{(x^3-x)dx}=2(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}/_{-1}^0)=\frac{1}{2}$

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