[Continuidade] Demonstrando

por **Ana_Rodrigues** » Ter Fev 07, 2012 23:43

Demonstre que a função:

$f(x)= {x}^{4}sen\frac{1}{x}$ se $x\neq0$
f(x)=0

se

é contínua em $(-\infty,\infty)$ .

Eu não consigo achar continuidade para números acima de zero, por exemplo:

Para x=1 e aplicando o teorema do confronto temos:
$-{x}^{4}\leq{x}^{4}sen\frac{1}{x}\leq{x}^{4}$
$\lim_{x\rightarrow1}-{x}^{4}=-({1}^{4})=-1$
$\lim_{x\rightarrow1}{x}^{4}={1}^{4}=1$

Pelo teorema a função $f(x)={x}^{4}sen\frac{1}{x}$ não é contínua para x>0, pois os limites da função não existem quando x>0.

Agradeço desde já, à quem me ajudar a entender!

por **LuizAquino** » Qua Fev 08, 2012 00:12

Ana_Rodrigues escreveu:Demonstre que a função:

$f(x)= {x}^{4}sen\frac{1}{x}$ se $x\neq0$
se

é contínua em $(-\infty,\infty)$

Ana_Rodrigues escreveu:Para x=1 e aplicando o teorema do confronto temos:
$-{x}^{4}\leq{x}^{4}sen\frac{1}{x}\leq{x}^{4}$
$\lim_{x\rightarrow1}-{x}^{4}=-({1}^{4})=-1$
$\lim_{x\rightarrow1}{x}^{4}={1}^{4}=1$

Pelo teorema a função $f(x)={x}^{4}sen\frac{1}{x}$ não é contínua para x>0, pois os limites da função não existem quando x>0.

Você está fazendo confusão.

Por definição, para que f seja contínua em x = 1, devemos ter:

$\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$

Primeiro, calcule f(1):

$f(1) = 1^4 \textrm{sen}\,\frac{1}{1} = \textrm{sen}\, 1$

Agora calcule o limite:

$\lim_{x\to 1} x^4\textrm{sen}\,\frac{1}{x}$

O cálculo desse limite é direto. Note que não há indeterminações.

$\lim_{x\to 1} x^4\textrm{sen}\,\frac{1}{x} = 1^4 \textrm{sen}\,\frac{1}{1} = \textrm{sen}\, 1$

Portanto, temos que $\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$ , o que significa que f é contínua em x = 1.

Não há necessidade (e nem faz sentido) aplicar o Teorema do Confronto para esse caso.

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 08, 2012 00:28

O Teorema do confronto só serve para indeterminações?

por **LuizAquino** » Qua Fev 08, 2012 00:44

Ana_Rodrigues escreveu:O Teorema do confronto só serve para indeterminações?

Leia atentamente o enunciado do Teorema do Confronto:

Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais definidas em um domínio $D\subseteq\mathbb{R}$ , e seja a, um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

(i) $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$ ;

(ii) $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ ;

Então existe o limite:

$\lim_{x\to a}g(x)=L$

Como $\lim_{x\to 1} - x^4 \neq \lim_{x\to 1} x^4$ , a afirmação (i) do enunciado do teorema não é atendida. Portanto, não é possível aplicar o teorema nesse caso.

Em resumo: o Teorema do Confronto não ajuda em nada no cálculo de $\lim_{x\to 1} x^4 \textrm{sen}\,\frac{1}{x}$ .

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