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[Limite trigonométrico]

[Limite trigonométrico]

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qui Jan 26, 2012 18:54

Quero saber por que \lim_{x\rightarrow0}sen\frac{\pi}{x} oscila entre 1 e -1
Por que o período do gráfico do seno diminui a medida que x se aproxima de zero?


Agradeço desde já a quem me ajudar a entender!
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Re: [Limite trigonométrico]

Mensagempor fraol » Qui Jan 26, 2012 19:36

Vamos analisar um pouco o caso da oscilação.

Antes de mais nada, não se pode falar que o \lim_{x->0}sen\frac{\pi}{x} oscila entre 1 e -1, uma vez que este limite não existe, se existisse não estaria oscilando, a função oscila.

A oscilação ocorre pois \frac{\pi}{x} cresce ilimitadamente quando x tende a 0 ( ou descresce ilimitadamente no caso de x tender a zero pela esquerda ).

Em qualquer caso, haverá inúmeros casos de x que tornam \frac{\pi}{x} um número múltiplo de \frac{\pi}{2} ou múltiplo de \frac{ 3 \pi}{2}, casos em que o seno é 1 e -1 respectivamente.
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Re: [Limite trigonométrico]

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qui Jan 26, 2012 20:00

Eu entendi a resposta, mas ainda tenho dúvida quanto ao gráfico!
Tipo numa ilustração aqui no livro os períodos perto de zero são bem pequenos. Sendo que a condição para que um gráfico seja comprimido horizontalmente é: y=f(cx).
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Re: [Limite trigonométrico]

Mensagempor fraol » Qui Jan 26, 2012 20:47

Analisando o período da função, com base nessa abordagem mais comum do coeficiente que multiplica a variável x, poderíamos supor que a função y = sen { \frac{\pi}{x} } = sen { \frac{\pi x }{x^2} } e aí teríamos que o coeficiente de x é \frac{\pi }{x^2}, que descresce mais e mais à medida que x tende a 0. Na verdade, estamos tratando de uma função caótica.

Prefiro analisar assim: \frac{\pi}{x} tem grandes incrementos no seu valor quando fazemos x tender a 0, mesmo lentamente. Em outras palavras, a função oscila rapidamente à medida que x se aproxima de 0. Assim sua frequência aumenta rapidamente. Como o Período é o inverso da Frequência, temos que o período diminui rapidamente.

(editando para concluir)

Isso explica por que o gráfico tem linhas cada vez maiz próximas ( período pequeno ) e em uma quantidade muito grande ( frequência grande ).

É isso.
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Re: [Limite trigonométrico]

Mensagempor Ana_Rodrigues » Sex Jan 27, 2012 14:28

Obrigada!
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.