Volume e Esboço do sólido - x=y^2 e x=9

por **joserd** » Qua Jan 25, 2012 21:17

Seja R a região delimitada pelos gráficos de x=y^2 e x=9. Determine o volume do sólido S que tem R como base , e tal que toda seção transversal por um plano perpendicular ao eixo Ox seja um triangulo equilátero. Esboce o sólido.
Consegui apenas encontrar os pontos comuns e fazer os gráficos da área . Não tenho ideia de como clacular o volume e do esboço do sólido.

por **LuizAquino** » Qui Jan 26, 2012 00:32

joserd escreveu:Seja R a região delimitada pelos gráficos de x=y^2 e x=9. Determine o volume do sólido S que tem R como base , e tal que toda seção transversal por um plano perpendicular ao eixo Ox seja um triangulo equilátero. Esboce o sólido.

joserd escreveu:Consegui apenas encontrar os pontos comuns e fazer os gráficos da área . Não tenho ideia de como clacular o volume e do esboço do sólido.

As figuras abaixo ilustram a região R e o sólido S.

: região_R.png (10.17 KiB) Exibido 777 vezes

: sólido_S.png (33.16 KiB) Exibido 777 vezes

Para determinar o volume de S, comece determinando a área A do triângulo equilátero destacado em função da posição x.

Para isso, note que $L = 2\sqrt{x}$ .

Desse modo, temos que a área A é dada por:

$A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = x\sqrt{3}$

Enxergando a área A como uma função de x, temos que o volume V de S será dado por:

$V = \int_0^9 A(x)\, dx$

$V = \int_0^9 x\sqrt{3}\, dx$

$V = \frac{81}{2}\sqrt{3}$

Volume e Esboço do sólido - x=y^2 e x=9

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