Volume de uma piramide hexagonal

por **joserd** » Qua Jan 25, 2012 20:24

Ola pessoal ja consegui fazer a demonstração da fórmula usando integrais para uma piramide de base quadrada, mas estou empacando na resolução de deduzir a fórmula para o volume de uma piramide de altura h e base sendo um hexágono regular de lado r.Me ajudem por favor preciso com urgencia

por **TheoFerraz** » Qua Jan 25, 2012 21:03

façamos o seguinte... pense na sua piramide posicionada com a base no eixo Oxy e a ponta indo pelo eixo Oz... tudo bem até agora?

agora vamos integrar... quero integrar minúsculas fatias de volume para obter um volume final... Logo, quero:

${V}_{total} = \int_{}^{} dv$

Le-se então: "o volume total é a soma de infinitos pequenos volumes infinitesimais"
(OBS: como pode ver, eu sou estudante de física... os matemáticos provavelmente dirão que eu estou estuprando a matemática... =X mas só estou sendo pratico)

muito simples... agora vamos definir essas tais fatias infinitesimais de volume! quero que voce imagine que estou fatiando a piramide em farias paralelas ao eixo Oxy, tudo bem?

Vou fazer uma simplificação. Pense que, já que são fatias infinitesimalmente pequenas... a figura da fatia, que seria um "tronco de piramide" é, para todos os fins praticos, um paralelepipedo! (matemáticos, respirem fundo, esse é o jeito físico de resolver problemas!)

o que temos então... esse volume infinitesimal que eu estou chamando de dv pode ser escrito em função duma altura infinitesmial, que seria a altura da fatia!!

$dv = (\frac{3}{2} \sqrt{3} {r}^{2}) \times dh$

esse R é o tamanho do lado de cada hexagono de cada fatia... é variável conforme as fatias.
perceba que conforme eu vou 'fatiando', conforme cada fatia, esse 'r' muda!
se eu conseguir um jeito de escreve-lo mudando EM FUNÇÂO DE h, eu resolvo o problema!

e é possivel! voce pode, se pensar num corte vertical da piramide, ver que

$r(h) = \frac{R}{H} (H-h) \times h$

sendo R e H as medidas dadas no enunciado.

Falta só uma coisa agora... os limites de integração!
eu estou cortando as fatias conforme a altura da piramide! minhas fatias deverão variar de 0 até H... compreende? Vou cortar ao longo da altura, desde o pto 0 até ter completado toda a reta...
(admito que essa explicação pode estar meio acoxambrada, me desculpe, mas fica realmente dificil da-la sem uma lousa =X)

por fim

$\int_{0}^{H} \frac{3 \: \sqrt{3}}{2} \times { \frac{R(H-h)}{H}}^{2} dh$

Eis o 'jeito físico' de fazer a matemática...

por favor, desculpe-me de qualquer acoxambramento e qualquer possivel erro =X

Caso algum matemático queira complementar com a resolução mais formal....

obrigado.

por **TheoFerraz** » Qua Jan 25, 2012 21:08

VIX! não tinha visto que sua area era a análise! O_O essa explicação deve ser praticamente inválida pra voce... esse jeito 'pratico' é absurdamente oposto ao jeito que o pessoal da análise costuma fazer =X descuuuulpe, mas espero que ao mínimo tenha conseguido ilustrar o problema...

por **joserd** » Qua Jan 25, 2012 21:10

Não entendi o que tem nesse trecho
está faltando alguma coisa?
o que temos então... esse volume infinitesimal que eu estou chamando de pode ser escrito em função duma altura infinitesmial, que seria a altura da fatia!!

esse R é o tamanho do lado de cada hexagono de cada fatia... é variável conforme as fatias.

por **joserd** » Qua Jan 25, 2012 21:12

Não Theo vc ajudou bastante estou quase lá com sua ajuda agradeço a atenção

por **TheoFerraz** » Qua Jan 25, 2012 21:17

A sim, concertei lá. "esse volume infinitesimal que estou chamando de dv..."

eu tinha usado o Latex para escrever 'dv', pode ter ocorrido algum erro.

por **LuizAquino** » Qua Jan 25, 2012 22:20

joserd escreveu:Ola pessoal ja consegui fazer a demonstração da fórmula usando integrais para uma piramide de base quadrada, mas estou empacando na resolução de deduzir a fórmula para o volume de uma piramide de altura h e base sendo um hexágono regular de lado r. Me ajudem por favor preciso com urgencia

A figura abaixo ilustra o exercício.

: figura.png (8.32 KiB) Exibido 7143 vezes

Primeiro, calcule a área do hexágono menor em função da posição x.

Para isso, comece determinando o valor de r.

Utilizando semelhança de triângulos, você deve obter que:

$r = \frac{(H-x)R}{H}$

Sendo assim, a área A do hexágono menor será dada por:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left[\frac{(H-x)R}{H}\right]^2$

Enxergando a área A como uma função de x, temos que:

$V = \int_0^H A(x)\, dx$

$V = \int_0^H \frac{3\sqrt{3}}{2}\left[\frac{(H-x)R}{H}\right]^2\, dx$

$V = \frac{\sqrt{3}}{2}R^2H$