Limites

por **Guilherme Carvalho** » Dom Jan 22, 2012 22:15

Não consegui calcula esses limites usando as propriedades de limites , me ajuda ai moçada por favor

$\lim_{x->9}\frac{{\chi}^{2}-81}{\sqrt[2]{\chi}-3}$

$\lim_{x->0}\left(\frac{1}{\chi\sqrt[2]{1+\chi}}-\frac{1}{\chi} \right)$

por **ant_dii** » Seg Jan 23, 2012 01:46

Para o primeiro, veja que
$x^2-81=(x-9)(x+9)=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9)$

Para o segundo, veja que
$\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1 \right)= \frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x}$

que é uma indeterminação do tipo 0/0

, onde você poderá aplicar a regra de L'hôpital, derivando denominador e numerador e depois calculando o limite.

por **LuizAquino** » Seg Jan 23, 2012 14:54

Guilherme Carvalho escreveu: $\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x} \right)$

ant_dii escreveu:Para o segundo, veja que
$\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1 \right)= \frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x}$

que é uma indeterminação do tipo 0/0, onde você poderá aplicar a regra de L'hôpital, derivando denominador e numerador e depois calculando o limite.

Não é necessário apelar para a Regra de L'Hospital.

Note que:

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{1 - \sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(1 - \sqrt{1+x}\right)\left(1 + \sqrt{1+x}\right)}{x\sqrt{1+x}\left(1 + \sqrt{1+x}\right)}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-x}{x\sqrt{1+x}\left(1 + \sqrt{1+x}\right)}$

$= \lim_{x\to 0} -\frac{1}{\sqrt{1+x}\left(1 + \sqrt{1+x}\right)}$

$= -\frac{1}{\sqrt{1+0}\left(1 + \sqrt{1+0}\right)} = -\frac{1}{2}$

por **ant_dii** » Seg Jan 23, 2012 19:05

Ótima saída Luiz, estive pensando em um jeito pra não usar L'Hôpital, mas já tava tão saturado que não consegui ver uma coisa tão simples porem elegante...

Obrigado

por **Guilherme Carvalho** » Seg Jan 23, 2012 20:16

Vlw pela ajuda LuizAquino e ant_dii, depois de ver seus raciocínios consegui fazer uma q desse certo.

$\lim_{x->9}\frac{{x}^{2}-81}{\sqrt[]{x}-3}$

$\lim_{x->9}\frac{\left(x-9 \right)\left(x+9 \right)}{\sqrt[]{x}-3}$ * $\frac{\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}+3}$

$\lim_{x\rightarrow9}\frac{\left(x-9 \right)\left(x+9 \right)\left(\sqrt[]{x}+3 \right)}{\left(x-9 \right)}$

$\lim_{x\rightarrow9}\left(x+9 \right)\left(\sqrt[]{x}+3 \right)}$ = 108