(calculo III) resolva o seguinte problema de valor inicial

por **liviabgomes** » Qui Dez 01, 2011 14:59

: anexo com a conta

podem me ajudar? tenho que fazer pela transformada de laplace??

brigada pela atenção.

por **LuizAquino** » Dom Dez 04, 2011 12:08

liviabgomes escreveu:Resolva o seguinte problema de valor inicial
$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x - y + \textrm{sen}\,(2t)e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = 4x + 2y + 2\cos(2t)e^{2t} \\ \end{cases}$
$x(0)=1,\, y(0)=2$

podem me ajudar? tenho que fazer pela transformada de laplace??

Você pode fazer pela Transformada de Laplace. Para isso, siga os passos abaixo.

Passo 1
Aplique a Transformada de Laplace em cada equação.

$\begin{cases} {\cal L}\left[\frac{dx}{dt}\right] = {\cal L}\left[2x - y + \textrm{sen}\,(2t)e^{2t}\right] \\ {\cal L}\left[\frac{dy}{dt}\right] = {\cal L}\left[4x + 2y + 2\cos(2t)e^{2t}\right] \\ \end{cases}$

$\begin{cases} s{\cal L}\left[x\right] - x(0) = 2{\cal L}\left[ x\right] - {\cal L}\left[y \right] + {\cal L}\left[\textrm{sen}\,(2t)e^{2t} \right]\\ s{\cal L}\left[y\right] - y(0) = 4{\cal L}\left[ x\right] + 2{\cal L}\left[y \right] + 2{\cal L}\left[\cos(2t)e^{2t} \right] \\ \end{cases}$

$\begin{cases} (s-2){\cal L}\left[x\right] + {\cal L}\left[y \right] = 1 + \frac{2}{(s-2)^2 + 4}\\ -4{\cal L}\left[x\right] + (s-2){\cal L}\left[y\right] = 2 + \frac{2(s-2)}{(s-2)^2 + 4} \\ \end{cases}$

Passo 2
Resolva o sistema anterior para ${\cal L}\left[x \right]$ e ${\cal L}\left[y \right]$ .

${\cal L}\left[x\right] = -\frac{2}{(s-2)^2 + 4} + \frac{s-2}{(s-2)^2 + 4}$

${\cal L}\left[y\right] = \frac{4}{(s-2)^2 + 4} + \frac{8}{\left[(s-2)^2 + 4\right]^2} + \frac{2(s-2)}{(s-2)^2 + 4} + \frac{2(s-2)^2}{\left[(s-2)^2 + 4\right]^2}$

Passo 3
Aplique a Transformada Inversa de Laplace na solução do sistema.

$x(t) = - \textrm{sen}\,(2t)e^{2t} + \cos(2t)e^{2t}$

$y(t) = 3\,\textrm{sen}\,(2t)e^{2t} + 2 \cos(2t)e^{2t}$

Passo 4
Substitua as funções x(t)

e

no problema original para conferir a resposta.

por **liviabgomes** » Dom Dez 04, 2011 20:55

muito obrigada pela ajuda, foi muito válido.. eu tinha trancado na transformada, e não tinha feito ela inversa depois.. me clareou as ideias.. hahaha. Lá no final para substituir no problema original como eu faço? pego a resposta e boto no lugar de x(t) e y(t) e derivo para ver se da certo?

por **LuizAquino** » Seg Dez 05, 2011 10:15

liviabgomes escreveu:Lá no final para substituir no problema original como eu faço? pego a resposta e boto no lugar de x(t) e y(t) e derivo para ver se da certo?

Sim.