Limites

por **Beatriz4** » Sex Nov 25, 2011 23:45

Já resolvi este limite mas não me dá o valor certo. Vou colocar aqui a minha resolução e gostaria que alguém me dissesse onde está o meu erro(s).

(n->+inf)lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n

lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n = lim ((2^(2n+1))/((n+2)/(4n+1))^n)*(((n+2)/(4n+1))^n)/((n+2)/(4n+1))^n = lim 2*((2^2)^n)/((n+2)/(4n+1))^n =
= lim 2*(4/((n+2)/(4n+1)))^n = lim 2*(4(4n+1)/(n+2)))^n = lim 2 ((16n+4)/(n+2))^n

Até aqui penso estar bem, gostaria que me dissessem como continuar para saber se a minha resoluçã está correcta. segundo um progrma de resolução de limites este dá 2e^(7/4) e a mim deu-me +inf.

Agradecia mesmo se me ajudassem!

por **LuizAquino** » Sáb Nov 26, 2011 17:57

Beatriz4 escreveu:Já resolvi este limite mas não me dá o valor certo. Vou colocar aqui a minha resolução e gostaria que alguém me dissesse onde está o meu erro(s).

(n->+inf)lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n

Eis o limite que você deseja calcular:

$\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n$

Beatriz4 escreveu:lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n = lim ((2^(2n+1))/((n+2)/(4n+1))^n)*(((n+2)/(4n+1))^n)/((n+2)/(4n+1))^n = lim 2*((2^2)^n)/((n+2)/(4n+1))^n =
= lim 2*(4/((n+2)/(4n+1)))^n = lim 2*(4(4n+1)/(n+2)))^n = lim 2 ((16n+4)/(n+2))^n

Utilizando as regras de precedência, o que você escreveu acima foi:

$\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n =$

$= \lim_{n\to +\infty} \frac{2^{2n+1}}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n} \cdot \frac{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \frac{\left[\left(2^2\right)^n\right]}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left(\frac{4}{\frac{n+2}{4n+1}}\right)^n$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left[\frac{4(4n+1)}{n+2}\right]^n$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left(\frac{16n+4}{n+2}\right)^n$

Beatriz4 escreveu:Até aqui penso estar bem, gostaria que me dissessem como continuar para saber se a minha resoluçã está correcta.

Você já errou do primeiro para o segundo passo.

Beatriz4 escreveu:segundo um progrma de resolução de limites este dá 2e^(7/4) e a mim deu-me +inf.

$\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n =$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot 4^n \cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\left(4\cdot \frac{n+2}{4n+1}\right)^n$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\left[4 \cdot \frac{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}{4n\left(1+\frac{1}{4n}\right)}\right]^n$

$= \lim_{n\to +\infty} 2\left[\frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\left(1+\frac{1}{4n}\right)}\right]^n$

$= 2\left[\frac{\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}}{\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{4n}\right)^n}}\right]$

$= 2\left(\frac{e^2}{e^{\frac{1}{4}}}\right)$

$= 2e^{\frac{7}{4}}$

Observação

Note que:

$\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = e^{k}$

De fato, fazendo a substituição $u = \frac{k}{n}$ , temos que:

$\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = \lim_{u\to 0}\left(1+u\right)^\frac{k}{u}$

$= \lim_{u\to 0} \left[\left(1+u\right)^\frac{1}{u}\right]^k$

$= \left[\lim_{u\to 0} \left(1+u\right)^\frac{1}{u}\right]^k$

= e^k

por **Beatriz4** » Dom Nov 27, 2011 11:05

Obrigada pela ajuda =)

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