• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Derivada] Encontrar a função

[Derivada] Encontrar a função

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Nov 25, 2011 22:20

Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo Ox no ponto de abscissa x+1.

Eu comecei dessa maneira:

Seja y=ax+b a equação da reta tangente ao ponto x do gráfico. Temos que f'(x)=a.

Pelos dados do enunciado, posso e esrever que y(x+1)=a(x+1)+b=0 Pois o ponto de abscissa (x+1) corta o eixo Ox.

Dessa maneira, a=f'(x)=-\frac{b}{x+1}

Como faço para encontrar a função e "me livrar" de b?
Aliocha Karamazov
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 90
Registrado em: Qua Mar 16, 2011 17:26
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: cursando

Re: [Derivada] Encontrar a função

Mensagempor MarceloFantini » Sex Nov 25, 2011 23:12

Você tentou usar a informação de que o gráfico passa pelo ponto (0,1) e portanto a reta tangente passando por 0 deve cortando o eixo Ox no ponto de abscissa 1?
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
MarceloFantini
Colaborador Moderador
Colaborador Moderador
 
Mensagens: 3126
Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: formado

Re: [Derivada] Encontrar a função

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Nov 25, 2011 23:35

Sim, tentei.

Percebi que f'(0)=-1=-f(0)

Como posso usar isso para resolver o problema?
Aliocha Karamazov
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 90
Registrado em: Qua Mar 16, 2011 17:26
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: cursando

Re: [Derivada] Encontrar a função

Mensagempor LuizAquino » Sáb Nov 26, 2011 09:04

Aliocha Karamazov escreveu:Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo Ox no ponto de abscissa x+1.


Aliocha Karamazov escreveu:Seja y=ax+b a equação da reta tangente ao ponto x do gráfico. Temos que f'(x)=a.


Você está confundindo o "x" (fixo) onde avaliar a derivada com o "x" (variável) da equação da reta.

Para não confundir, escreva que a reta tangente a função f no ponto (x, f(x)) é dada por:

\overline{y}=a\overline{x} + b

Você sabe que a=f'(x) . Além disso, essa reta deve passar no ponto (x, f(x)). Substituindo então \overline{x}=x e \overline{y}=f(x) , obtemos que:

f(x) = f'(x)x + b \Rightarrow b = f(x) - f'(x)x

Sendo assim, a equação da reta tem o formato:

\overline{y} = f'(x)\overline{x} + (f(x) - f'(x)x)

Por outro lado, essa reta corta o eixo Ox no ponto (x+1, 0). Dessa forma, substituindo \overline{x}=x+1 e \overline{y}=0, obtemos que:

0 = f'(x)(x+1) + (f(x) - f'(x)x) \Rightarrow f'(x)=-f(x)

Note que se a função f é tal que f'(x)=-f(x) , então ela tem o formato f(x)=ke^{-x} (tente obter essa conclusão).

Por fim, usando o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (0, 1), temos que:

f(0)=1 \Rightarrow 1= k e^{-(0)} \Rightarrow k=1 \Rightarrow f(x)=e^{-x}
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [Derivada] Encontrar a função

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Nov 26, 2011 18:26

Refiz todos os seus passos e entendi. Obrigado.
Aliocha Karamazov
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 90
Registrado em: Qua Mar 16, 2011 17:26
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 2 visitantes

 



Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?