[Limites] Provar que limite alcança valor determinado

por **cassiano07** » Qui Nov 10, 2011 23:58

Olá pessoal, sou novo aqui no fórum e desculpe se meu tópico não está no lugar ou padrão corretos.

O negócio é que tenho um problema que é o seguinte:

Uma pessoa lança uma pedra contra uma parede. Num primeiro momento a pedra percorreu metade do caminho (1/2) , no outro momento metade da metade (1/4) , posteriormente metade da metade da metade (1/8) e assim continua, até que a pedra colide com a parede que está a 4 metros de distância.

O problema é: como posso provar, de maneira formal, que a pedra atinge a parede?

tentei provar para o meu professor pelo modo:

x= 3,9999999999999...
10x= 39,999999999999...

logo 10x-x = (39,999...) - (3,999....)
9x = 36
x=4

Porém, meu professor disse que eu deveria utilizar um modo formal, fazendo o uso de limites e derivadas...

Pensei numa outra maneira, em que seja feita uma progressão de: 1.(1/2) + 1.(1/2²) + 1.(1/2³)..... fazendo a somatória de todos e igualando a 4 ( = 4)
Mas acho que neste método também não é feito formalmente...

Alguém poderia me ajudar a provar? Parece algo simples mas não sei como explicar de maneira formal! Obrigado!

por **joaofonseca** » Sex Nov 11, 2011 08:24

Para uma boa resolução de um problema em matematica, um enunciado explicito é essencial.

cassiano07 escreveu:Num primeiro momento a pedra percorreu metade do caminho (1/2) , no outro momento metade da metade (1/4) , posteriormente metade da metade da metade (1/8) e assim continua

Daqui se poderia deduzir o seguinte limite:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{4}{2^x}=0 , x \in \mathbb{N}$

Ou seja no limite a pedra iria cair na vertical e ficar no mesmo sitio!

cassiano07 escreveu:até que a pedra colide com a parede que está a 4 metros de distância.

Em que é que ficamos?
Provavelmente o enunciado do problema não está corretamente escrito.

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 10:13

joaofonseca escreveu:Para uma boa resolução de um problema em matematica, um enunciado explicito é essencial.
Num primeiro momento a pedra percorreu metade do caminho (1/2) , no outro momento metade da metade (1/4) , posteriormente metade da metade da metade (1/8) e assim continua

Daqui se poderia deduzir o seguinte limite:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{4}{2^x}=0 , x \in \mathbb{N}$

Ok.

joaofonseca escreveu:Ou seja no limite a pedra iria cair na vertical e ficar no mesmo sitio!

Não é bem isso. Note que a função $f(x)=\frac{4}{2^x}$ , com $x\in \mathbb{N}$ , representa a quantidade que a pedra irá percorrer no tempo x. Essa função não representa a quantidade total percorrida desde a posição inicial da pedra.

O significado de $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ é que para um tempo muito grande, a pedra não irá mais se locomover. Ou seja, ela irá atingir a parede.

joaofonseca escreveu:
até que a pedra colide com a parede que está a 4 metros de distância.

Em que é que ficamos?
Provavelmente o enunciado do problema não está corretamente escrito.

Errado. A sua interpretação está equivocada.

Vejamos a tabela a seguir.

$\begin{array}{c|c|c} \textbf{Tempo} & \textbf{Quantidade a percorrer} & \textbf{Quantidade total percorrida} \\ \hline 1 & \frac{4}{2} & \frac{4}{2} \\ \hline 2 & \frac{4}{4} & \frac{4}{2} + \frac{4}{4}\\ \hline 3 & \frac{4}{8} & \frac{4}{2} + \frac{4}{4} + \frac{4}{8}\\ \hline 4 & \frac{4}{16} & \frac{4}{2} + \frac{4}{4} + \frac{4}{8} + \frac{4}{16}\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline x & \frac{4}{2^x} & \sum_{k=1}^x \frac{4}{2^x} \end{array}$

Note que a quantidade total percorrida representa a soma dos x termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 4/2 e razão 1/2.

Sabemos que a soma dos x termos dessa p. g. será dada por:

$S_x = \frac{\frac{4}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right]}{\frac{1}{2}-1}$

Portanto, temos que:

$\lim_{x\to+\infty} S_x = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{4}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\right]}{\frac{1}{2}-1} = \frac{\frac{4}{2}\left(0-1\right)}{\frac{1}{2}-1} = 4$

Ou seja, a quantidade total percorrida quando o tempo for muito grande irá tender a 4, significando que a pedra atingirá a parede.

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 10:23

Acho que esse problema é um tipo de paradoxo de Zenão.

Um exemplo de um caso parecido:

"Dicotomia
Imagine um atleta querendo correr uma distância de 60m, para chegar no final do percurso ele primeiro terá que passar no ponto que corresponde a 1/2 (metade) do percurso, depois no próximo ponto que corresponde a 2/3 do percurso, depois 3/4 do percurso, para assim chegar a 4/5 do percurso e depois 5/6 do percurso e depois 30/31 do percurso ao ponto correspondente a 199/200 e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,9893798 metros), tendendo assim a ser um número infinito de pontos antes que o corredor chegue ao final."

No caso da pedra, ela tem que percorrer infinitos trechos de metade do caminho, de maneira que pode-se dizer que ela nunca irá alcançar a parede. Mas está errado, pois é possível que uma pedra atinja a parede. O problema é como provar isso formalmente.

Nesse caso o professor pediu para analisar o percurso da pedra como: $\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}...+ \frac{1}{2^n}$ até tender a 0 e atingir a parede. O problema é como provar que o limite é atingido, podendo assim acertar a parede?

onde $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}...+ \frac{1}{2^n}$ .

No enunciado do exercício pede para que se prove por meio de limites que uma pedra lançada contra a parede irá atingí-la. Acredito que os 4 metros de distância em que a parede está não é muito importante, pois ele apenas representa o caminho inteiro, e estamos lidando com as partes.

Tembém encontrei que o $\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{1}^{n}\frac{1}{2^n}$ e que quando a razão da Progressão geométrica é <1 , a soma de seus infinitos termos é definida pela fórmula: $S\infty = \frac{a1}{1 - q}$ em que "a1" seria o primeiro termo da progressão e "q" seria a razão.

Assim poderia-se dizer que $\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{1}^{n}\frac{1}{2^n}$ = $\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$ (em que "a1" seja 1/2 e "q" seja 1/2)

Assim, poderia-se concluir que a resposta é 1, que representa 1 inteiro (caminho completo). Porém acho que esse método não é formal!

Obrigado por responder João Fonseca, espero que eu tenha conseguido esclarecer o enunciado. Alguém me ajude por favor, preciso descobrir como resolver isso hoje...

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 10:33

cassiano07 escreveu:Acho que esse problema é um tipo de paradoxo de Zenão.

Sim. Vide:

Paradoxos de Zeno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxos_de_Zeno

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 10:38

Luiz Aquino, o que eu fiz está certo? Acho que é parecido com o modo com que você fez, mas eu considerei 1/2 resultando em 1 como o percurso inteiro. O meu modo ficou mais nas partes. O seu foi mais certeiro pois considerou as condições do problema. É isso? Mas essa resolução seria aceita como uma resolução formal, em que se utiliza limites e derivadas? teria como resolver isso com derivada?

Muito Obrigado pela ajuda de todos!

por **joaofonseca** » Sex Nov 11, 2011 10:40

Eu interpretei x como sendo o número de lançamentos feitos.Em cada lançamento a pedra percorria metade da distancia do lançamento anterior.
Mas pelo que posso observar,trata-se do estudo de um único lançamento (em câmera lenta).

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 10:52

LuizAquino escreveu:Portanto, temos que:

$\lim_{x\to+\infty} S_x = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{4}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\right]}{\frac{1}{2}-1} = \frac{\frac{4}{2}\left(0-1\right)}{\frac{1}{2}-1} = 4$

A fórmula da soma dos elementos da P.G. não está errada? a que encontrei era $Sn = \frac{a1. (1-q^n)}{1-q}$ em que "n" é o número de elementos, "q " é a razão e "a1" é o primeiro elemento.

Seria (1- q^n) e não (q^n - 1)?

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 10:55

cassiano07 escreveu:Luiz Aquino, o que eu fiz está certo?

Quase. Note que você usou:

cassiano07 escreveu:(...) quando a razão da Progressão geométrica é <1 , a soma de seus infinitos termos é definida pela fórmula: $S\infty = \frac{a1}{1 - q}$ em que "a1" seria o primeiro termo da progressão e "q" seria a razão. (...)

Você deveria ter provado essa fórmula, usando o conceito de limite. Vide o exemplo 2 da vídeo-aula "08. Cálculo I - Limites Exponenciais". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

cassiano07 escreveu:Mas essa resolução seria aceita como uma resolução formal, em que se utiliza limites e derivadas? teria como resolver isso com derivada?

Ao que parece, quando lhe foi solicitado "uma resolução formal", o objetivo era que você usasse o conceito de limites ou derivadas.

A resolução "padrão" desse problema tipicamente usa apenas o conceito de limites, assim como foi feito no que apresentei anteriormente. Não é necessário utilizar o conceito de derivadas nesse problema.

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 10:59

cassiano07 escreveu:
A fórmula da soma dos elementos da P.G. não está errada? a que encontrei era $Sn = \frac{a1. (1-q^n)}{1-q}$ em que "n" é o número de elementos, "q " é a razão e "a1" é o primeiro elemento.

Seria (1- q^n) e não (q^n - 1)?

Não faz diferença. É apenas uma questão de arrumação das fórmulas:

$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1[-(-1+q^n)]}{-(-1+q)} = \frac{-a_1(q^n - 1)}{-(q - 1)} = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 11:06

Luiz Aquino, Será que se eu seguir o modo como você fez estará completo? ou devo provar a formula da PG? Caso deva provar a formula teria como me dar uma ideia?

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 11:17

cassiano07 escreveu:Será que se eu seguir o modo como você fez estará completo? ou devo provar a formula da PG?

Eu acredito que sim. Mas, obviamente não tenho como afirmar que o seu professor pensará assim também. Pode ser que ele exija ainda que você prove duas coisas:

(i) A soma dos n termos de uma p. g. de primeiro termo a1 e razão r é dada por $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q- 1}$ ;

(ii) Se 0 < a < 1, então $\lim_{x\to +\infty} a^x = 0$ .

cassiano07 escreveu:Caso deva provar a formula teria como me dar uma ideia?

Há uma demonstração na página:
Progressão geométrica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C ... C3%A9trica

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 11:47

Muito obrigado mesmo pessoal! Acho que conseguirei provar este desafio após a ajuda de todos vocês! Valeu!

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 12:04

Apenas mais uma dúvida: Não existe um modo para provar por meio de métodos de série de convergência que o limite da soma da infinitas partes possui um valor definido?

Existem alguns testes de convergência nesse link, mas queria saber como aplicá-los e quais as condições.

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_convergente

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 13:39

Alguém sabe analisar esse problema pelo método da série convergente? Utilizando algum dos testes de convergência?

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 16:51

cassiano07 escreveu:Alguém sabe analisar esse problema pelo método da série convergente? Utilizando algum dos testes de convergência?

Considere que você deseja provar o seguinte:

Se 0< r < 1

e $c\neq 0$ , então $S_n = \sum_{k=0}^n cr^k$ converge para o número $\frac{c}{1-r}$ .

Siga os seguintes passos:

1) Prove que $S_n = \frac{c(r^{n+1} - 1)}{r - 1}$ ;

2) Aplique o conhecimento sobre o limite de funções exponenciais para provar que $\lim_{n\to+\infty} S_n = \frac{c}{1-r}$ ;

3) Conclua então que S_n

converge para o número $\frac{c}{1-r}$ .

por **cassiano07** » Sex Nov 11, 2011 18:00

nesse caso o C significaria o a1 e o r a razão? o k representaria o n?

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 18:09

cassiano07 escreveu:nesse caso o c significaria o a1 e o r a razão?

Sim.

cassiano07 escreveu:o k representaria o n?

Não. Leia esta página:

Somatório
http://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio

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