Declive da reta secante

por **joaofonseca** » Ter Nov 08, 2011 12:04

Tenho estado a estudar uma abordagem às derivadas do ponto de vista do declive da reta secante a dois pontos.Calculando o limite desse mesmo declive num ponto.
$\lim_{x \mapsto a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Quando $x \mapsto a$ o declive da reta secante aproxima-se do declive da reta tangente a a.Ou seja do valor da derivada no ponto x=a.

Quando o calculo do limite não corre bem, as coisas começam a complicar-se!
Seja a função f(x)=2x^2-ln(x)

. Calcule-se o declive da reta tangente no ponto (1,2), utilizando a primeira formula:

$\lim_{x \mapsto 1}\frac{2x^2-ln(x)-2}{x-1}=$

$\lim_{x \mapsto 1}\frac{2(x^2-1)-ln(x)}{x-1}=$

$\lim_{x \mapsto 1}\frac{2(x-1)(x+1)-ln(x)}{x-1}=$

$\lim_{x \mapsto 1}2(x+1)-ln(x)=2 \cdot 2-ln(1)= 4-0=4$

Seria de concluir que a derivada da função no ponto x=1 seria 4!!!
Mas quando calculo a derivada através das regras de diferenciação obtenho:

$f'(x)=4x -\frac{1}{x}$

ou seja,

f'(1)=4-1=3

Em qual deles errei?
Após algumas simulações gráficas, verifiquei que foi no limite que errei, mas por mais que me esforce não sei onde.Podem ajudar-me?
Obrigado

por **MarceloFantini** » Ter Nov 08, 2011 16:31

Você dividiu apenas o lado direito por x-1, e não tudo. O resultado deveria ser o limite de $2(x+1) - \frac{\ln x}{x-1}$ .

por **joaofonseca** » Ter Nov 08, 2011 17:30

Obrigado! Não estava mesmo exergando.
No entanto mesmo assim o resultado do limite continua na mesma, pois $\frac{ln(x)}{x-1}$ resulta em $\frac{0}{0}$ quando se substituí x por 1.
Foi então, que após alguma pesquisa, e no seguimento da definição de derivada que estou a utilizar, descobri:

$f'(1)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{ln(x)-ln(1)}{x-1}=\frac{ln(x)}{x-1}$

Ou seja a expressão reflete a derivada da função ln(x) no ponto x=1.E como sabemos, será igual a 1.
Assim:

$\lim_{x \mapsto 1}\frac{2x^2-ln(x)-(2-ln(1))}{x-1}=(...)=\lim_{x \mapsto 1}2(x+1)-\lim_{x \mapsto 1}\frac{ln(x)}{x-1}=2 \cdot 2-1=3$

Agora sim, coincide com o valor que obtive através das regras de diferenciação!!!!

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 10:30

joaofonseca escreveu:Foi então, que após alguma pesquisa, e no seguimento da definição de derivada que estou a utilizar, descobri:
$f'(1)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{ln(x)-ln(1)}{x-1}=\frac{ln(x)}{x-1}$

Correção:

$f^\prime (1)=\lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{\ln x - \ln 1}{x-1}= \lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{x-1}$

Para calcular esse limite, faça a substituição u = x - 1

. Como $x\to 1$ , teremos que $u \to 0$ . Portanto, podemos escrever:

$f^\prime(1) = \lim_{u\to 0} \frac{\ln (u+1)}{u}$

Note que podemos ainda escrever:

$f^\prime(1) = \lim_{u\to 0} \frac{1}{u} \ln (u+1)$

Utilizando propriedades de logaritmo, temos que:

$f^\prime(1) = \lim_{u\to 0} \ln (u+1)^{\frac{1}{u}}$

Como a função logaritmo natural é contínua em u+1 quando $u\to 0$ , o limite poderá "entrar" na função:

$f^\prime(1) =\ln \left[\lim_{u\to 0} (u+1)^{\frac{1}{u}}\right]$

Lembrando-se do limite exponencial fundamental, temos que:

$f^\prime(1) = \ln e$

Portanto, como já era esperado, obtemos que:

$f^\prime(1) = 1$

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