( Regra da Cadeia ) - Cálculo II

[Marimar]

Oi pessoal,

Vou tentar explicar o que eu tentei fazer no seguinte exercício, e queria que alguém pudesse me ajudar a concluí-lo.

Admita que, para todo (x,y)

4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Calcule g' (t), sendo g(t) = f( 2cost, sent).


Chamei x= 2cost y= sent

peguei a equação e integrei 4y e x e deu a seqguinte equação: x^2/2 + 2y^2 = 2
tentei fazer algumas substituições mas nada deu certo, acabei chegando a lugar algum.

se possível, ajudem. Obrigada.

[Igor Mirandola]

Vou supor que f eh uma função de R² em R, isso deveria ficar claro no enunciado...
vou supor ainda que (x,y) leva a f(x,y)...

Admitindo que, para todo (x,y)
4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Calcule g' (t), sendo g(t) = f( 2cost, sent).
Agora observe que g(t) é uma função R em R, onde para todo t leva-se ao valor g(t), pela lei g(t) = f(2cost, sent), g eh uma composta!
Existe uma função h(t) intermediária, tal que para cada valor de t, eh associado a um h(t) = ( 2cost, sent)
Dessa forma, minha g(t) nada mais é do que uma f(h(t)).
Nesta função x = x(t) e y = y(t)

Acredito que a regra da cadeira será dada por:
dg/dt = df/dx dx/dt + df/dx dy/dt
Podemos determinar dx/dt = d(2cos(t))/dt = - 2 sen(t)
Podemos determinar dy/dt = d(sent)/dt = cos(t)

Assim,
dg/dt = -2 sent df/dx + cost df/dy
Também vamos lembrar que temos por hipotese que 4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Mas não consigo unir as duas equações!!!
Falta algum dado?

[LuizAquino]

Assim,
dg/dt = -2 sent df/dx + cost df/dy
Também vamos lembrar que temos por hipotese que 4y. df/dx (x,y) - x df/dy(x,y) = 2

Note que se e , então:



Dividindo esta última equação por -2, note que:



Portanto, podemos concluir que: