[Intregral]

por **thiago toledo** » Seg Out 17, 2011 16:22

Calcular $\int_{R}^{}\int_{}^{}\ dxdy$ onde R é a região do primeiro quadrante limitado por:

$5\leq y\leq9-{x}^{2}$

Como resolvo esta ingral?

por **LuizAquino** » Seg Out 17, 2011 22:07

thiago toledo escreveu:Calcular $\iint_{R}\,dxdy$ onde R é a região do primeiro quadrante limitado por:
$5\leq y\leq9-{x}^{2}$

A região R está ilustrada abaixo.

: região-R.png (7.53 KiB) Exibido 781 vezes

Note que a interseção, no primeiro quadrante, entre a reta e a parábola ocorre no ponto x = 2 (isto é, para x = 2 temos que 9 - x^2 = 5

). Podemos então escrever R como sendo:

$R = \left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\leq x \leq 2,\, 5\leq y\leq9-{x}^{2}\right\}$

Sendo assim, temos que

$\int_0^2 \int_{5}^{9-x^2} \, dy \, dx = \int_0^2 \left[y\right]_5^{9-x^2} \, dx$

$= \int_0^2 4 - x^2 \, dx$

$= \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{16}{3}$

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