[limite] assintotas duvida

por **beel** » Ter Set 06, 2011 13:37

O "candidato" a assintota vertical, é aquele numero (a) que zera o denominador certo?Tenho que fazer então $\lim_{x\rightarrow ^- ^+ a}$ ( limites laterais). Como confirmo se esse numero a, é a assintota vertical?
Se por exemplo o $\lim_{x\rightarrow ^- a} = - \infty \lim_{x \rightarrow ^+ a} = + \infty$
( limites laterias nao coincidem...)

A assintota existe?

por **LuizAquino** » Ter Set 06, 2011 20:46

isanobile escreveu:O "candidato" a assintota vertical, é aquele numero (a) que zera o denominador certo?

Mais ou menos isso. Lembre-se que a assíntota vertical é uma reta e não um número. Desse modo, o certo é dizer que a reta x = a é uma candidata a assíntota vertical.

isanobile escreveu:Tenho que fazer então $\lim_{x\to a^-} f(x)$ e $\lim_{x\to a^+} f(x)$ ( limites laterais).

Sim.

isanobile escreveu:Como confirmo se esse numero a, é a assintota vertical?

A reta x = a será uma assíntota vertical se qualquer um dos três limites acontecer:

(i) $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$

(ii) $\lim_{x\to a^-} f(x) = \infty$

(iii) $\lim_{x\to a^+} f(x) = \infty$

(*) Vale lembrar que o resultado do limite pode ser mais infinito ou menos infinito.

isanobile escreveu:Se por exemplo o $\lim_{x\to a^-} f(x) = - \infty$ e $\lim_{x \to a^+} f(x)= + \infty$
( limites laterias nao coincidem...)

A assintota existe?

Sim, existe a assíntota. O que não existe seria o limite $\lim_{x\to a} f(x)$ .

Por exemplo, considere a função $f(x) = \frac{1}{x-1}$ .

Note que temos:

$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$

Desse modo, não existe o limite $\lim_{x\to 1} f(x)$ (já que os limites laterais são distintos), mas a reta x = 1 existe e representa uma assíntota vertical do gráfico de f. Veja a figura abaixo.