[Derivada] Determinar a,b e c

por **esquilowww** » Sex Out 14, 2011 23:34

Olá pessoal, gostaria de saber como procedo com esta questão, pois me disseram que eu deveria derivá-la e igualar a 0. Porém quando o faço, "travo" e não consigo mais fazer. Gostaria de uma ajuda de como devo proceder para resolver esta questão.

Considere a função f definida por f(x)= x^3 + ax^2 + bx + c

. Sabe-se que esta função tem um ponto de máximo no ponto de abscissa 1 e um ponto de mínimo no ponto de abscissa -1. Uma de suas raizes é zero e não tem outras raízes reais. Determine os valores de a, b e c.

Além desta também tem outra questão que estou "quebrando cabeça" e não sei nem por onde começar. Segue.

A Receita mensal de vendas de um produto, em uma empresa, e seu custo total são representados pelas funções R(x)=300x - 10x^2

e

, onde a variável x representa as quantidades produzidas e vendidas:
a) Obtenha a quantidade que maximiza o Lucro.
b) Mostre que, para o resultado obtido no ítem “a”, o custo marginal é igual a receita marginal.

Desde já agradeço.

por **LuizAquino** » Sáb Out 15, 2011 08:20

Exercício 1

(...) Sabe-se que esta função tem um ponto de máximo no ponto de abscissa 1 e um ponto de mínimo no ponto de abscissa -1. (...)

Isso significa que $f^\prime (1) = 0$ e $f^\prime (-1) = 0$ .

(...) Uma de suas raizes é zero (...)

Isso significa que f(0) = 0

.

(...) e não tem outras raízes reais (...)

Isso significa que as outras duas raízes são números complexos.

Resumindo o problema, usando as informações você pode montar o seguinte sistema:

$\begin{cases} f^\prime (1) = 0 \\ f^\prime (-1) = 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$

Agora termine a resolução.

Exercício 2

a) Obtenha a quantidade que maximiza o Lucro.

Já que

, deve ocorrer que L(x) = - 10x^2 + 240x - 200

.

O lucro máximo ocorre no ponto c tal que $L^\prime(c) = 0$ e $L^{\prime\prime}(c) < 0$ .

b) Mostre que, para o resultado obtido no ítem “a”, o custo marginal é igual a receita marginal.

Isto é, deve-se verificar que $R^{\prime}(c) = CT^{\prime}(c)$ .

Agora termine a resolução.

Observação
Eu recomendo que você assista a vídeo-aula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **esquilowww** » Sáb Out 15, 2011 17:20

LuizAquino escreveu:Exercício 1

(...) Sabe-se que esta função tem um ponto de máximo no ponto de abscissa 1 e um ponto de mínimo no ponto de abscissa -1. (...)

Isso significa que $f^\prime (1) = 0$ e $f^\prime (-1) = 0$ .

(...) Uma de suas raizes é zero (...)

Isso significa que .

(...) e não tem outras raízes reais (...)

Isso significa que as outras duas raízes são números complexos.

Resumindo o problema, usando as informações você pode montar o seguinte sistema:

$\begin{cases} f^\prime (1) = 0 \\ f^\prime (-1) = 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$

Agora termine a resolução.

Exercício 2

a) Obtenha a quantidade que maximiza o Lucro.

Já que , deve ocorrer que .

O lucro máximo ocorre no ponto c tal que $L^\prime(c) = 0$ e $L^{\prime\prime}(c) < 0$ .

b) Mostre que, para o resultado obtido no ítem “a”, o custo marginal é igual a receita marginal.

Isto é, deve-se verificar que $R^{\prime}(c) = CT^{\prime}(c)$ .

Agora termine a resolução.

Observação
Eu recomendo que você assista a vídeo-aula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Luiz, antes de tudo gostaria de lhe agradecer pelas informações, pois consegui resolver os 2 problemas, só queria saber se fiz corretamente... rs.

1ª questão:

f(0)= 0 = (0)^3 + a(0)^3 + b(0) + c = 0

ENTÂO:

LOGO: 3 -2a + b = 0

f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0

LOGO: 3 + 2a + b = 0

Com base nas informações obtemos o sitema.

$\begin{cases} 3 + 2a + b = 0 \\ 3 - 2a + b = 0 \\ \end{cases}$

Resolvendo o sitema obtemos o resultado que $b =\frac{-3}{2}$

Utilizando o resultado de b = -3/2