[Cálculo] Integral da secante

por **ARCS** » Ter Ago 23, 2011 18:15

Sempre que queremos calcular a integral da secante temos que multliplicar a secante por (secx+tgx) / (secx+tgx). Existe alguma forma de deduzir este fator ou terei que memoriza-lo mesmo?

por **Neperiano** » Ter Ago 23, 2011 19:36

Ola

Você pode transforma-la em 1/cos x, mas acho que isso naum ajuda muito

Atenciosamente

por **LuizAquino** » Ter Ago 23, 2011 23:02

ARCS escreveu:Sempre que queremos calcular a integral da secante temos que multliplicar a secante por (secx+tgx) / (secx+tgx). Existe alguma forma de deduzir este fator ou terei que memoriza-lo mesmo?

Essa estratégia, bem esperta, é realizada já pensando na utilização da técnica de substituição no passo seguinte.

A forma de "deduzi-la" seria exatamente pensando na questão: o que devo multiplicar para depois poder usar a técnica de substituição?

Comparado a quem teve pela primeira vez essa ideia, que foi bastante criativa, o nosso trabalho é bem simples: aprendê-la (que é diferente de decorá-la).

Neperiano escreveu:Você pode transforma-la em 1/cos x, mas acho que isso naum ajuda muito

Sim, ajuda.

$\int \sec x\, dx = \int \frac{1}{\cos x}\, dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}\, dx = \int \frac{\cos x}{1 -\,\textrm{sen}^2\, x}\, dx$

Fazendo a substituição $u = \,\textrm{sen}\,x$ e $du = \cos x\, dx$ , obtemos

$\int \sec x\, dx = \int \frac{1}{1 - u^2}\, du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\, du$ $= \frac{1}{2}(-\ln |1 - u| + \ln|1+u|) + c = \ln\sqrt{\left|\frac{1+u}{1-u}\right|} + c = \ln\sqrt{\left|\frac{1+\,\textrm{sen}\,x}{1-\,\textrm{sen}\,x}\right|} + c$

Para deixar a família de primitivas no formato canônico, faremos o desenvolvimento abaixo.
$\int \sec x\, dx = \ln\sqrt{\left|\frac{1+\,\textrm{sen}\,x}{1-\,\textrm{sen}\,x}\right|} + c$ $= \ln\sqrt{\left|\frac{(1+\,\textrm{sen}\,x)(1+\,\textrm{sen}\,x)}{(1-\,\textrm{sen}\,x)(1+\,\textrm{sen}\,x)}\right|} + c = \ln \left|\frac{1+\,\textrm{sen}\,x}{\cos x}\right| + c = \ln |\sec x + \,\textrm{tg}\,x| + c$

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