Limite

por **killerkill** » Qui Ago 18, 2011 00:30

Calcule o limite:
Só consegui fazer assim:

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^3-5x^2+8x-4}{x^4-5x-6}= \frac{x^3-5x^2+8x-4}{\frac{1}{(x^3-5x^2+8x-4)(x+5)+17x^2-41x+14}}= 0$

não sei se a ideia da manipulaçao algébrica esta correta... no caso fazer a divisao do denominador pelo numerador atraves do método da chave encontrando uma resposta e colocando ela como denominador e no numerador 1. ou seja, seria a resposta da primeira divisao elevada a -1 ja que o expoente do denominador é de 1 grau menor que o do numerador.
nao tenho gabarito para corrigir.

Outra questao que nao consigo é:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[2]{x+\sqrt[2]{x}}-\sqrt[2]{x-1}$

O estranho é que o professor não nos ensinou aquele método que vocês costumam usar aqui no fórum que é de substituir determinado termo por uma outra letra etc. Não sei nem dizer se isso é pra ser estudado agora ou só mais tarde. Alguém me ajuda?

por **LuizAquino** » Qui Ago 18, 2011 07:53

killerkill escreveu: $\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^3-5x^2+8x-4}{x^4-5x-6}= \frac{x^3-5x^2+8x-4}{\frac{1}{(x^3-5x^2+8x-4)(x+5)+17x^2-41x+14}}= 0$

Errado! Note que se você desenvolver o que está no segundo membro, você não obtém o que está no primeiro:
$\frac{x^3-5x^2+8x-4}{\frac{1}{(x^3-5x^2+8x-4)(x+5)+17x^2-41x+14}}$ $= (x^3-5x^2+8x-4) \cdot \left[\frac{(x^3-5x^2+8x-4)(x+5)+17x^2-41x+14}{1}\right]$ = x^7 - 5x^6 + 8x^5 - 9x^4 + 19x^3 - 10x^2 - 28x + 24

= x^7 - 5x^6 + 8x^5 - 9x^4 + 19x^3 - 10x^2 - 28x + 24

Além disso, novamente você não está colocando a notação de limite em cada passo.

Para resolver exercícios como esse é necessário efetuar a fatoração dos polinômios. Se você não se recorda como fazer isso, então eu recomendo que você revise esse conteúdo do ensino médio.

Realizando a fatoração você obtém:
$\lim_{x\to 2} \frac{x^3-5x^2+8x-4}{x^4-5x-6} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^2(x-1)}{(x - 2)(x + 1)(x^2 + x + 3)}$

Agora termine o exercício.

killerkill escreveu: $\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}$

A estratégia nesse limite é dividir e multiplicar por $\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}$ :

$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}$

Em seguida, divida tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{x}$ :

$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x} + 1\right):\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}\right):\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$

Agora termine o exercício.

killerkill escreveu:O estranho é que o professor não nos ensinou aquele método que vocês costumam usar aqui no fórum que é de substituir determinado termo por uma outra letra etc. Não sei nem dizer se isso é pra ser estudado agora ou só mais tarde.

Geralmente essas estratégias de substituição são estudadas ao longo da apresentação dos limites. Entretanto, tipicamente os livros não separam uma seção específica para exibir a técnica. Alguns professores ensinam a técnica a medida que vão exibindo como calcular limites.

por **killerkill** » Qui Ago 18, 2011 12:20

Obrigado Luiz. só nao entendi a passagem do denominador no caso

$\frac{\sqrt[]{x}}{x}\Rightarrow \sqrt[]{\frac{1}{x}}$

Aproveitando... preciso de sua ajuda aqui nessa outra questão :

Determine os pontos de continuidade e assintotas verticais e horizontais da funçao:
$\frac{x^2-6x+5}{\left(e^x+1 \right)(x^2-4x+3)}$

Oque eu consegui fazer foi:

$\frac{x^2-6x+5}{\left(e^x+1 \right)(x^2-4x+3)} = \frac{\left(x-1 \right)(x-5)}{\left(e^x+1 \right)(x-1)(x-3)}= \frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}$

A funçao nao está definida para x=3 ou seja ela é descontínua em x=3. Para verificar se esse valor x é uma assíntota verifica-se:

$\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}= \infty$

$\lim_{x\rightarrow3^-}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}= -\infty$

Portanto x=3 é uma assíntota vertical.

Para as assintotas horizontais fiz $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}=\frac{x}{e^x}$ (dividi todos os termos por x

mais a partir daí nao sei mais analisar.

Ontem fiquei ate as 3:30da manha aqui tentanto resolver e nao consegui resolver nenhuma questao dessa prova antiga dele! PQP.. to perdido mesmo!!!

por **LuizAquino** » Qui Ago 18, 2011 21:19

killerkill escreveu:só nao entendi a passagem do denominador no caso

$\frac{\sqrt[]{x}}{x}\Rightarrow \sqrt[]{\frac{1}{x}}$

Seja x um número real positivo não nulo. Temos que:

$\frac{\sqrt{x}}{x} = \sqrt{\frac{x}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{x}}$

killerkill escreveu:Aproveitando... preciso de sua ajuda aqui nessa outra questão :
Determine os pontos de continuidade e assintotas verticais e horizontais da funçao:
$\frac{x^2-6x+5}{\left(e^x+1 \right)(x^2-4x+3)}$

Por questão de organização, o ideal é que em cada tópico tenha apenas um exercício. Fica o lembrete para as próximas vezes.

killerkill escreveu:O que eu consegui fazer foi:

$\frac{x^2-6x+5}{\left(e^x+1 \right)(x^2-4x+3)} = \frac{\left(x-1 \right)(x-5)}{\left(e^x+1 \right)(x-1)(x-3)}= \frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}$

Considerando que x deve ser diferente de 1, está correto esse desenvolvimento.

Mas, lembre-se que a função original não estará definida em 1.

killerkill escreveu:A funçao nao está definida para x=3 ou seja ela é descontínua em x=3. Para verificar se esse valor x é uma assíntota verifica-se:

$\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}= \infty$

$\lim_{x\rightarrow3^-}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}= -\infty$

Portanto x=3 é uma assíntota vertical.

Correção:
$\lim_{x\to 3^+} \frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)} = -\infty$

$\lim_{x\to 3^-}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}= +\infty$

killerkill escreveu:Para as assintotas horizontais fiz $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}=\frac{x}{e^x}$ (dividi todos os termos por x

Essa operação está incorreta.

A maneira adequada é algo como:
$\lim_{x\to +\infty} \frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}=\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{e^x+1} \lim_{x\to +\infty} \frac{x-5}{x-3}$ $= \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{e^x+1} \lim_{x\to +\infty} \frac{1-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}} = 0\cdot \frac{1 - 0}{1 - 0} = 0$

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x-5}{\left(e^x+1 \right)(x-3)}=\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{e^x+1} \lim_{x\to -\infty} \frac{x-5}{x-3}$ $= \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{e^x+1} \lim_{x\to -\infty} \frac{1-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}} = \frac{1}{0+1}\cdot \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$