Integral - Cálculo de áreas

por **pinkfluor** » Qui Jul 21, 2011 11:38

CONCURSO PETROBRAS 2011:

O grafico abaixo mostra,parcialmente, o grafico da funcao f(x), definida por f(x)= (3x^2)/ (x³+1)
Qual o valor da area limitada pela curva do grafico f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x=1 e x=3?
PS. A figura do grafico mostra que a funcao f(x) é positiva no intervalo [1,3].

Gabarito: ln(14)

por **pinkfluor** » Qui Jul 21, 2011 11:43

pinkfluor escreveu:CONCURSO PETROBRAS 2011:

O grafico abaixo mostra,parcialmente, o grafico da funcao f(x), definida por f(x)= (3x^2)/ (x³+1)
Qual o valor da area limitada pela curva do grafico f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x=1 e x=3?
PS. A figura do grafico mostra que a funcao f(x) é positiva no intervalo [1,3].

Gabarito: ln(14)

Entao:

A = integral f(x) dx

Mas pra integrar essa funcao, tenho que fazer fracoes parciais, mas nao tou conseguindo fatorar o denominador (x³+1).
Sabemos que (x³+1) = (x +1)*(x2 - x +1), mas se fatorar essa equacao do segundo grau, nao ha raizes reais...

Alguem sabe???
Obrigada!

por **MarceloFantini** » Qui Jul 21, 2011 14:32

Não é necessário fazer frações parciais. Faça a substituição $u=x^3 +1 \Rightarrow \tm{d} u = 3x^2 \, \tm{d} x$ , e portanto a integral será $\int \frac{3x^2}{x^3 +1} \, \tm{d} x = \int \frac{\tm{d} u}{u}$ , basta colocar os limites de integração. Note que quando fazemos mudança de variável é necessário alterar os limites para que o valor final não se altere.

por **pinkfluor** » Qui Jul 21, 2011 17:21

MarceloFantini escreveu:Não é necessário fazer frações parciais. Faça a substituição $u=x^3 +1 \Rightarrow \tm{d} u = 3x^2 \, \tm{d} x$ , e portanto a integral será $\int \frac{3x^2}{x^3 +1} \, \tm{d} x = \int \frac{\tm{d} u}{u}$ , basta colocar os limites de integração. Note que quando fazemos mudança de variável é necessário alterar os limites para que o valor final não se altere.

Nossaaa!!nao "enxerguei" que saia por susbstituicao de jeito nenhum...brigadao mesmoooooo!!
sds