Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

por **fabiodultra** » Seg Nov 26, 2007 21:57

Oí amigos! Tudo bem?

Estou estudando para um concurso e resolvendo algumas questões, porém fiquei com dúvidas nas seguintes questões abaixo:

a) lim t³+4t²+4t OBS: Numerador e Denominador, foi pq não tive como colocar a
t=>-2 (t+2)(t-3) a barra da divisão.

b) lim f(x)
x tendendo ao infinito

c) lim (1+1/n)n+5 OBS: o termo n+5 é o expoente.
x tendendo ao infinito

d) f(x) = x-(x) em x=0 OBS: Os parenteses são módulos.

Se alguém ficar na dúvida sobre algo, pode me mandar um e-mail, que passo as questões:
fabiodultra@gmail.com

Desde já agradeço a atenção de todos.
Abraços...
Até mais.

por **admin** » Ter Nov 27, 2007 18:20

Olá, seja bem-vindo.
Acredito que estas informações ajudarão em seus estudos, nestes exercícios e em outros.
São links do e-cálculo, referência das disciplinas Cálculo I e II do IME-USP:

Uma breve abordagem sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/limites.htm

Sobre cálculo de limites, exemplos e exercícios:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/calculo_lim.htm

Um estudo das "indeterminações" de limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/indeterminacoes/indeterminacoes.htm

Alguns teoremas sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/alguns_teo_principal.htm

Abraço!

por **admin** » Ter Nov 27, 2007 22:08

Além dos materiais acima, seguem alguns comentários sobre os limites enviados.
Confirme se os enunciados foram representados aqui como você queria:

a) $\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}$
Veja que neste caso, o limite que queremos calcular é o quociente entre dois termos, mas o denominador será zero (o que não pode ocorrer).
Então, a dica é fatorar o numerador para simplificarmos a expressão, suprimindo o fator (t+2)

do denominador.

Colocando o

em evidência:
$\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)} = \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t^2+4t+4)}{(t+2)(t-3)} = ...$

E como há um quadrado perfeito:
$...= \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)^2}{(t+2)(t-3)} = ...$

Então, a simplificação:
$... = \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)}$

Note que ao simplificarmos (dividirmos numerador e denominador por com tendendo à ), não estamos dividindo por zero, porque no limite, será tão próximo de quanto se queira, mas não será igual a .

Agora, adicionalmente, convém olhar os teoremas sobre as propriedades dos limites (conhecidos como as leis dos limites).
Mas, apenas para brevemente citá-los:
1) o limite de uma soma é a soma dos limites;
2) o limite da diferença é a diferença os limites;
3) o limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função;
4) o limite de um produto é o produto dos limites;
5) o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.

Após a simplificação, podemos fazer separadamente os limites do numerador e do denominador e calcularmos o limite desejado com o teorema 5.

Como:
$\lim_{t\rightarrow-2} t(t+2) = 0$

E:
$\lim_{t\rightarrow-2} t(t-3) = -5$

Temos que:
$\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)} = \frac{0}{-5} = 0$

por **admin** » Ter Nov 27, 2007 22:51

c) $\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5}$
(confirme o enunciado, pois você colocou $x\rightarrow \infty$ e eu acreditei ser $n\rightarrow \infty$ )

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5} = \lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \left( 1 + \frac1n \right)^n \left( 1 + \frac1n \right)^5 \right] = \cdots$

$\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^5 = \cdots$

Veja aqui sobre este limite: $\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n = e$
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/logaritmica/logaritmo/links_areas/numeroe/numeroe.htm

$\cdots = e \cdot 1 = e$

por **admin** » Ter Nov 27, 2007 23:48

Sobre b), você tem a função f(x)?
Se não, receio que não podemos afirmar.

Em d) se o enunciado for este:
Calcular $\lim_{x\rightarrow0}f(x)$ , onde f(x) = x - |x|

Considere primeiro a definição de módulo:

$\begin{displaymath} |x| = \left\{ \begin{array}{ll} x & se \ x \geq 0\\ -x & se \ x<0} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Para sabermos se o limite existe e calcularmos, ele deve ser o mesmo tendendo tanto pela direita, quanto pela esquerda.
Este é um outro teorema dos limites.

Teorema:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x) = L$ se e somente se $\lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = L = \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)$

Estes são os chamados limites laterais. As Leis do Limite também devem ser válidas para eles.

Voltanto ao problema, uma vez que |x| = x

para $x \geq 0$ , temos:
$\lim_{x\rightarrow 0^+} x - x = 0$

Para x<0

, temos

, assim:
$\lim_{x\rightarrow 0^-} x - (-x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} 2x = 0$

Portanto, pelo Teorema (o limite é o mesmo por ambos os lados):
$\lim_{x\rightarrow0}f(x) = \lim_{x\rightarrow0} x - |x| = 0$

Espero ter ajudado.
Abraço!