Limites

por **Fabio Cabral** » Seg Jun 13, 2011 13:27

Estou com dúvida para calcular esse limite.

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}$

Tentei multiplicar pelo conjugado.
Tentei usar produto notável.
Tentei colocar em fração.
enfim..

A resposta é -1, porém, chego em vários outros resultados, menos o correto.

OBS: Sem utilizar L'Hopital.

Grato,

por **Claudin** » Seg Jun 13, 2011 14:58

Nem tinha percebido esse erro tambem

por **AlbertoAM** » Seg Jun 13, 2011 16:34

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}\left(\frac{2+\sqrt[]{x}}{2+\sqrt[]{x}} \right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+4\sqrt[]{x}+4}{4-x}=\\\\\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cancel{x}\left(1+\cancelto{0}{\frac{4\sqrt[]{x}}{x}}+\cancelto{0}{\frac{4}{x}} \right)}{\cancel{x}\left(\cancelto{0}{\frac{4}{x}}-1 \right)}=-1$

Espero que entenda.

por **AlbertoAM** » Seg Jun 13, 2011 18:03

Desculpe-me, cometi um erro grave nessa passagem:
$\frac{4\sqrt[]{x}}{x}$ , não poderia ter colocado zero, pois temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito.

por **LuizAquino** » Seg Jun 13, 2011 18:26

AlbertoAM escreveu:Desculpe-me, cometi um erro grave nessa passagem:
$\frac{4\sqrt[]{x}}{x}$ , não poderia ter colocado zero, pois temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito.

Note que $\lim_{x\to +\infty} \frac{4\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4x}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{\sqrt{x}} = 0$ .

Além disso, a forma mais simples de resolver $\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$ é dividindo tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{x}$ .

Ou seja, temos que:
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{\sqrt{x}}+1}{\frac{2}{\sqrt{x}}-1} = - 1$ .

por **AlbertoAM** » Seg Jun 13, 2011 18:32

Caramba, que confusão que eu fiz.Bem mais direta sua resolução, legal.

por **Claudin** » Seg Jun 13, 2011 22:00

Fico bem mais simples mesmo Luiz
Mas acho que a maioria iria pensar em multiplicar pelo conjugado.

Obrigado pela dica.

por **Claudin** » Seg Jun 13, 2011 22:02

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4\sqrt[]{x}}{x}= 0$

Mas esse pensamento seu (Alberto) esta certo não está não?

por **AlbertoAM** » Ter Jun 14, 2011 07:39

Claudin escreveu: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4\sqrt[]{x}}{x}= 0$

Mas esse pensamento seu (Alberto) esta certo não está não?

Está certo, eu é que fiz confusão.

por **Claudin** » Ter Jun 14, 2011 10:35

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