Limites

por **Fabio Cabral** » Seg Jun 13, 2011 13:27

Estou com dúvida para calcular esse limite.

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}$

Tentei multiplicar pelo conjugado.
Tentei usar produto notável.
Tentei colocar em fração.
enfim..

A resposta é -1, porém, chego em vários outros resultados, menos o correto.

OBS: Sem utilizar L'Hopital.

Grato,

por **Claudin** » Seg Jun 13, 2011 14:58

Nem tinha percebido esse erro tambem

por **AlbertoAM** » Seg Jun 13, 2011 16:34

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2+\sqrt[]{x}}{2-\sqrt[]{x}}\left(\frac{2+\sqrt[]{x}}{2+\sqrt[]{x}} \right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+4\sqrt[]{x}+4}{4-x}=\\\\\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cancel{x}\left(1+\cancelto{0}{\frac{4\sqrt[]{x}}{x}}+\cancelto{0}{\frac{4}{x}} \right)}{\cancel{x}\left(\cancelto{0}{\frac{4}{x}}-1 \right)}=-1$

Espero que entenda.

por **AlbertoAM** » Seg Jun 13, 2011 18:03

Desculpe-me, cometi um erro grave nessa passagem:
$\frac{4\sqrt[]{x}}{x}$ , não poderia ter colocado zero, pois temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito.

por **LuizAquino** » Seg Jun 13, 2011 18:26

AlbertoAM escreveu:Desculpe-me, cometi um erro grave nessa passagem:
$\frac{4\sqrt[]{x}}{x}$ , não poderia ter colocado zero, pois temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito.

Note que $\lim_{x\to +\infty} \frac{4\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4x}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{\sqrt{x}} = 0$ .

Além disso, a forma mais simples de resolver $\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$ é dividindo tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{x}$ .

Ou seja, temos que:
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{\sqrt{x}}+1}{\frac{2}{\sqrt{x}}-1} = - 1$ .