Otimização - Máximo e Mínimo

[elbert005]

Bom pessoal, eu vou apresentar este trabalho na quarta, gostaria quem alguem especializado no assunto avalia-se se possível, para ver onde posso melhorar e se alguma coisa esta errada na resolução!!!!


Encontre o ponto P na parábola y=x² que está mais próximo de (3,0). Justifique sua resposta que o ponto que você encontrou é realmente o mais próximo.

Bom, para iniciarmos o problema utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos.

Solução: A distância entre os pontos (3,0) e (x,y) é:
d=?((x-3)^2+(y-0)²) , como vamos trabalhar em termos de x, logo substituiremos y=x², sendo assim:
d=?((x-3)^2+(x^2 )^2 ) , agora iremos inverter a raiz de lado, logo: d²=f(x) (x-3)^2+(x^2)², devemos nos convencer que o mínimo de d ocorre no mesmo mínimo de d², porém é mais fácil de ser trabalhar com este último.
Derivando obtemos:
f^' (x)=2(x-3)+2(x^2 )2x
f^' (x)=2x-6+4x³
Como a equação é 2x-6+4x^3, a resposta que se obtém é x=1, desde que: f(1)=4.1³+2.1-6=0
Dividindo a equação por (x-1)* ? 2x³-x-3| x-1
2x³-2x^2 2x^2+2x+3
2x^2+x
2x²-2x
3x-3
3x-3
0
Desde b²-4ac é negativo em 2x²+2x+3, não há mais soluções.
Voltando à nossa função da primeira derivada, vamos provar também pelo teste da Segunda Derivada.
f^' (x)=4x³+2x-6
f^'' (x)=12x²+2, logo f(1)=12.1²+2=14

Logo se f^' (c)=0 e f^'' (c)>0 , então f tem um mínimo local em c.
Pensando na imagem, este deve ser o lugar onde ocorre um mínimo e não máximo. Também ao pensar sobre imagem, não há máximo.
O valor correspondente de y é y=x²=1. Assim o ponto sobre y=x² mais próximo de (3,0) é (1,1).