Limite

por **Claudin** » Qui Jun 02, 2011 10:45

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x}+4}{x-2}$

Esse exercício, quando resolvo utilizando racionalização no inicio encontrei como resposta $\frac{15}{8}$

Porém um amigo meu fez de outro modo substituindo o $\sqrt[]{x}$ por $x^{\frac{1}{2}}$

ai faz as devidas operações e depois ele faz racionalização no final e encontrou $-2\sqrt[]{2}-4$

Então gostaria de saber o porque dos resultados distintos, e se alguém puder postar a resolução correta!

Obrigado

por **ARCS** » Qui Jun 02, 2011 11:08

Na realidade as duas respostas estão errada. Em casos como este você não pode racionalizar muito menos aplicar a regra de L'Hôpital pois você não tem uma indeterminação.
Note que quando x tende a 2 o numerador tende $2+\sqrt[]{4}$ e o denominador tente a zero. Da definição de limite temos que para que o limite exista precisamos que os limites laterais existam e ambos sejam iguais. Observem que de um lado o limite é mais infinito e de outro menos infinito, ou seja os limites laterais não existe(lembre que infinito não é um número) e muito menos são iguais.

por **carlosalesouza** » Qui Jun 02, 2011 11:26

Uma pequena ressalva... distração do colega, quando x tenda a 2, o numerador tende a $\sqrt 2 + 4$ ...

De resto, é exatamente isso...

Os limites laterais, quando x tende a 2 são infinitos e distintos... logo, a função é descontínua em x=2...

Um abraço

por **carlosalesouza** » Qui Jun 02, 2011 12:25

Com relação aos limites laterais, é necessários verificar, porque no ponto x=2,

$f(2) = \frac{\sqrt 2 + 4}{2 - 2} = \frac{\sqrt 2 + 4}{0} = \infty$

Agora,
sendo u = x-2, quando x<2, u<0
e quando x>2, u>0

e sendo $v = \sqrt x + 4$ , onde f(x) é sempre maior que 0, pois o menor valor aceitável para a raíz de x é 0 e 0+4 = 4...

então $f(x) = \frac{v}{u}$

Assim, se x<2, (v/u) com u<0 tende ao infinito negativo, pois v é positivo e u é negativo muito próximo de zero...
do mesmo modo, se x>0, (v/u), com u>0 tende ao infinito positivo, pois v e u são positivos e u é muito próximo de zero...

Ok?

Um abraço

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